Formules Trigonométrie

Exercice 1 : 1) a) IH' =I' O+OH donc IH'=1+cos ( x ) . I' H=1 OH=cos ( x ) { • • ̂ MI' I et ̂ MOI interceptent le même arc de cercle ; on a donc 1 ̂ MOI= x rad car M repère sur le cercle MI' I= ̂ MOI , or ̂ 2 ̂I mesure x rad. trigonométrique le nombre x , donc MI' 2 I' H x MI' I )= =cos En se plaçant dans le triangle I'MH rectangle en H : cos ( ̂ I' M 2 x I' M I' M = = • De même, se plaçant dans le triangle I'MI rectangle en M, on a cos . 2 I' I 2 b) En multipliant les deux dernières égalités

[u( x )]2 u ' ( x ) v ( x ) − u( x ) v ' ( x ) [v( x )]2 2 Logarithme népérien : ln ln (ab) = ln a + ln b a ln ( ) = ln a – ln b b ln (an) = n ln a Equations différentielles y' - ay = 0 y = k eax y" + ω2y = 0 y = a cos ωx + b sin ωx Trigonométrie sin (a +b ) = sina cosb + sinb cosa cos (a +b ) = cosa cosb – sina sinb cos 2a = 2 cos2 a – 1 = 1 – 2 sin2a sin 2a = 2 sina cosa Nombres complexes (j2 = -1) forme algébrique forme trigonométrique z=x+jy z = ρ (cosθ + j sinθ ) z =x-jy z = ρ (cosθ

suite géométrique. 2)Soit [pic] la suite définie pour tout [pic] par : [pic]. Démontrer que [pic] est une suite arithmétique. 3)Démontrer que pour tout [pic] : [pic]. 4)On pose [pic]. Démontrer que [pic]. Exercice 3 Angles orientés et trigonométrie 6,5 points Les questions (1) et (2) sont indépendantes 1) Tracer un cercle (C) de centre A et B un point de (C). a) Construire les points C, D, E et F du cercle (C) tels que : [pic]. b) Déterminer une mesure, puis la

Angles et repères I. Les Angles orientés. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O ; I ; J). Définitions : • Deux vecteurs u et v non nuls définissent un angle orienté noté (u ; v). • Les demi-droites [O ; u) et [O ; v) coupent le cercle trigonométrique en deux points E et F. Une mesure en radian de l’angle orienté (u ; v) est une mesure algébrique de l’arc EF. Rappel : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Son périmètre est 2( [pic]

sin(C) = EBBC donc BC = EBsin⁡(C) Dans le triangle AEB, rectangle en E, on a : sin(A) = EBAB donc EB = sin(A) x AB AB = EBsin⁡(A) = EBsin⁡(180°-α-β) = BC ×sin⁡(C)sin⁡(180°-α-β) Grâce à cette démonstration, nous avons pu déterminer quelle formule nous permettra de calculer la distance entre le pointeur C et le clocher A : AB = BC ×sin⁡(C)sin⁡(180°-α-β) . III) Application concrète de la démonstration. Nous sommes maintenant en mesure de calculer la longueur AB à partir de la longueur BC

Seconde Devoir n°19 (DS8) 1 heure NOM : ................................. Prénom : .................................. Exercice 1: 2,5 points 1) Représenter graphiquement la fonction carré définie par f(x) = x2 10 8 Surveillé le 23/03/04 Exercice 2: 2,5 points 1) Représenter graphiquement la fonction 1 inverse définie par g(x) = x 6 4 6 2 4 2 0 -3 -2 -1 0 0 1 2 3 -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -6 2) Compléter: si 0 ≤ x ≤ 2) Compléter: 3 alors ... ≤ x2 ≤ ... si x < −1 alors si

que x= 2 et ρ = 4 et en calculer les coordonnées polaires et cartésiennes. € € EXERCICE 5 : (/6) Parmi les relations suivantes, quelles sont celles qui sont vraies et celles qui sont erronées ? € A l’aide d’un cercle trigonométrique, corriger les formules fausses et illustrer les vraies pour tout α π a) cos(−α ) = −cos(α ) b) sin(π + α ) = − sin(α ) c) cos( − α) = sin(α ) 2 € EXERCICE 6 : ( / 3) Résoudre dans ] − π; + €] l’équation −2 cos2 (x) − cos(x) + 1 = 0 en posant dans un premier temps X = cos(x)

les nombres irrationnels et les nombres amicaux. Les connaissances mathématiques nouvelles ont surtout servi au bon épanouissement des autres disciplines. Par exemple, le mathématicien Al-Battani a largement contribué à l'établissement de la trigonométrie moderne, et du même coup à l'astronomie, en travaillant les concepts de sinus et de tangente. L'âge d'or des mathématiques arabes voit sa fin au milieu du XVe siècle, notamment avec la mort du savant Al-Kashi à qui l'on doit les 16 premières

 MNP est un triangle équilatéral direct et I est le milieu de [MN]. Lire graphiquement les mesures principales de et . = = - 2 /3 (PI) est la médiane du triangle équilatéral MNP, donc c’est aussi la bissectrice de =  /6 IV- Trigonométrie 1) Cosinus et sinus d’un réel x Définition : Soit M l’image d’un réel x sur le cercle trigonométrique.  On appelle cosinus de x l’abscisse de M. On le note cos x.  On appelle sinus de x l’ordonnée de M. On le note sin x. Propriétés :

TABLE TRIGONOMETRIQUE Degrés 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Cosinus 1,000 1,000 0,999 0,999 0,998 0,996 0,995 0,993 0,990 0,988 0,985 0,982 0,978 0,974 0,970 0,966 0,961 0,956 0,951 0,946 0,940 0,934 0,927 0,921 0,914 0,906 0,899 0,891 0,883 0,875 0,866 0,857 0,848 0,839 0,829 0,819 0,809 0,799 0,788 0,777 0,766 0,755 0,743 0,731 0,719 0,707 Sinus 0,000 0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,105 0,122 0,139