Germinal Réel

(on peut aussi le trouver à la calculatrice : z 2 [pic]2,8 – 2,8 i ) 2) z 2 s’écrit sous forme exponentielle : A : 4[pic] B : 4[pic] C : 4[pic] D : 4[pic] La réponse exacte est B car, d’après le 1) , la partie réelle de z 2 est positive et sa partie imaginaire est négative et, parmi les 4 arguments proposés, –[pic]est le seul ayant son cosinus positif et son sinus négatif ; z 2 = 4 (cos(–[pic]) + i sin(–[pic])). 3) z s’écrit sous forme exponentielle :

33. Barycentre Point pondéré (Ai;αi) avec Ai point αi nombre réel est un point pondéré (affecté de la masse αi) * S=A1;α1;…;An;αn avec n2 est le système de points pondérés. * m=i=1nαi=α1+…+αn est la masse du système. Barycentre de 2 points * Soit S=A;α;(B;β) système de masse non nulle + * Le barycentre G de S est l’unique point G tel que αGA+ βGB=0 ------------------------------------------------- G=Bar A;α;B;β⟺αGA+βGB=0 m=α+β est la masse affectée à G.du barycentre. Propriété :

fonction f . Quelle est l’interprétation graphique de ce résultat ? 2. Déterminer la limite en +∞ de f puis montrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C . 3. Soit f la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f (x) pour tout réel x de ]0 ; +∞[. 4. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ puis dresser le tableau de variations de la fonction f . 5. Déterminer le point A de la courbe C en lequel la tangente T est parallèle à la droite D. 6. Dans le repère (O; i, j) tracer

Û a = 0 et b = 0. · Déjà, il est clair que si a = 0 et b = 0 alors a + bi = 0. · Réciproquement, supposons que a + bi = 0. Montrons qu'alors, nécessairement, a = 0 et b = 0. En effet si b ¹ 0, alors on pourrait écrire : i = 2 a . Le nombre i serait réel et on ne pourrait avoir i = -1. b not Cette notation permet de confondre les éléments de  avec leur copie (éléments de j())... (0, 1) ´ (0, 1) = (-1, 0) i = (0, 1) i ´ i = -1 not Donc b = 0. L'égalité a + bi = 0 se réduit à a + 0i =

coordonnées cylindriques de M par rapport à R tout triplet de réels (r, θ, z) tel que → − −→ − − OM = r → (θ) + z k u où : →− − → • θ est une mesure de l’angle i , OP . → − → − − − • → (θ) est le vecteur → (θ) = cos θ i + sin θ j u u − → − • r est le réel positif tel que OP = r → (θ) u • z est la cote de M dans R. Remarque 3.7 (r, θ) est un système de coordonnées polaires pour P relativement à R0 . P ROPOSITION 3.6 ♥ Lien entre les coordonnées cylindriques et les coordonnées cartésiennes →→→

Comparaison des suites numériques 1) Suites équivalentes 2) Suites de références Annexe I : fonctions chaotiques 1) Etude d'une suite récurrente 2) Fonctions chaotiques Annexe II : Caractérisations du corps des réels I : Corps des réels 1– Propriétés u Un réel peut être vu, sous forme numérique, comme un entier relatif constituant sa partie entière, suivie d'une infinité de chiffres constituant sa partie décimale. EXEMPLE : -1- π = 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751... Nous préférons

Concours CCP 2004 Epreuve sp´cifique - Fili`re PC e e MATHEMATIQUES 2 Dur´e : 4 heures e Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance ` la clart´, a e a ` la pr´cision et ` la concision de la r´daction. e a e Si un candidat est amen´ ` rep´rer ce qui peut lui sembler ˆtre une erreur d’´nonc´, ea e e e e il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´t´ amen´ ` prendre. ee ea

fonction n’est pas dérivable en 0. II – FONCTION DERIVEE Définition : La dérivée d’une fonction f est la fonction f’ définie par f '( x) = lim h→0 f ( x + h) − f ( x ) h là où cette limite existe. Dans la définition de f’ (x), x est un réel quelconque de l’ensemble de définition de f . Quand f’ (x) existe ( c’est à dire que la limite de la définition existe ), on dit que f est dérivable en x . Théorème Si une fonction est dérivable en a alors elle est continue en a. En terminale ES ce

En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E). 5) Déterminer l’unique solution g de l’équation différentielle (E) telle que . Partie B : On considère la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par où k est un nombre réel donné. On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal. 1) Montrer que la fonction admet un maximum en . 2) On note le point de la courbe d’abscisse . Montrer que le point appartient à la courbe d’équation . 3) Sur le

bijection de I sur J = f(I), si tout réel y de J possède un unique antécédent x appartenant à I. C’est le cas en particulier de toute fonction f dérivable et strictement monotone sur un intervalle I, qui réalise une bijection de I sur f(I). Définition : Soit f une fonction réalisant une bijection d’un intervalle I sur J = f(I) ; Tout réel y∈J admettant un unique antécédent par f, on peut construire à partir de f une nouvelle fonction définie sur J, qui à tout réel y de J associe son antécédent x par