Grand ensemble

Logique et théorie des ensembles Rappels : ℕ : ensemble des entiers naturels = { 0 , 1 , 2 , … } A part 0, un nombre n’a pas d’opposé dans ℕ * = − {0} : ensemble des entiers relatifs = { …, – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , … } = { n, -n ; n ∈ ℕ } A part -1, 1, un entier relatif n’a pas d’inverse dans = − {0} p p p * : ensemble des nombres rationnels = { ;( p, q ) ∈ × } avec 1 = 2 ⇔ p1.q2 = p2 .q1 } q q1 q2 * * = − {0} Mais π , * + 2,e∉ * : ensemble des nombres réels =

La logique floue 1.1 Introduction à la logique floue  1.1.1 Historique  Le terme d’ensemble flou apparaît pour la première fois en 1965 lorsque le professeur Lotfi A. Zadeh, de l’université de Berkeley aux USA, publie un article intitulé « Ensembles flous » (Fuzzy sets). Il a réalisé depuis de nombreuses avancées théoriques majeures dans le domaine et a été rapidement accompagné par de nombreux chercheurs développant des travaux théoriques. Parallèlement, certains chercheurs se sont penchés

´ ` ´ (L1) COURS DE MATHEMATIQUES PREMIERE ANNEE ´ DENIS DIDEROT PARIS 7 UNIVERSITE Marc HINDRY Introduction et pr´esentation. page 2 1 Le langage math´ematique page 4 2 Ensembles et applications page 8 3 Groupes, structures alg´ebriques page 23 4 Les corps des r´eels R et le corps des complexes C page 33 5 L’anneau des entiers Z page 46 6 L’anneau des polynˆ omes page 53 7 Matrices page 65 8 Espaces vectoriels page 74 9 Applications lin´eaires page 84 10 Introduction aux d´eterminants

| 4/Cardinal d’un ensemble fini  Définition  Soit E un ensemble fini contenant n éléments avec[pic], l’entier naturel non nul n s’appelle cardinal de E . On note[pic]. On convient de poser[pic]. Propriétés  Soit E et F deux ensembles finis : 1) Si [pic] , [pic] 2) D’une façon générale [pic] . 5/Notion de p-uplet  a)Produit cartésien : Soit E et F deux ensembles finis. On pose par définition [pic] (on lit E croix F) Si [pic] . On

 Chapitre 1 : Tribus. 1.1 Ensembles dénombrables. 1.1.1 Définition : Un ensemble X non vide est dit fini lorsque ∃ n ∈ ℕ* t.q ∃ φ : {1,…,n} → X bijective. Dans ce cas, n est dit le cardinal de X. 1.1.2 Définition : Un ensemble X non vide est dit infini lorsqu’il n’est pas fini. 1.1.3 Théorème : Soit X un ensemble non vide, les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) X est infini.  (ii) ∃ X0 ⊊ X, ∃ ψ : X0 → X bijective. 1.1.4 Définition : Un ensemble X non vide est dit dénombrable

.... 1 1.2 Historique de la logique floue ........................................................................................................... 2 1.3 Les sous-ensembles flous. ................................................................................................................. 3 1.3.1 Rappels sur les ensembles classiques ............................................................................................ 3 1.4 Notions Mathématiques de base ..........................

leur point de vue, en évoquant au passage les considérations d’ordre philosophique qu’il soulève. Après un survol du « fini » et de l’infini « inachevé » (pré-Cantorien), nous tenterons de présenter les deux sortes d’infini qu’on trouve en théorie des ensembles : les ordinaux et les cardinaux. Tout au long de l’exposé se présentera la question « jusqu’où peut-on aller », et la réponse sera toujours « encore très loin ». 1 Introduction : qu’est-ce que le fini ? Jusqu’où va-ton (I) ? Si l’infini se

Exercices - Ensembles : inclusion - union - intersection application... : corrigé Exercices de base... Exercice 1 - Ecriture en extension - L1/Math Sup On a : A = {2, 3, 4, 5, 6} . Pour écrire B, on remarque que 1/2 ≤ n ≤ 7/2 =⇒ n =1,2 ou 3. Pour chaque valeur possible de n, on écrit les valeurs possibles de p, et on obtient : 1 3 1 2 4 5 B = 1, 2, , , , , , . 2 2 3 3 3 3 On n’a pas écrit plusieurs fois 1, qui s’obtient aussi avec 2/2 et 3/3. De même pour 2. Exercice 2 - Ensemble des parties

—————————————————————————————— 1 Tribu Soit X un ensemble on note par P(X) l’ ensemble de tous les sous-ensembles de X. Une collection d’ ensembles A P(X) est dite tribu sur X si (a) X 2 A, (b) A 2 A ) Ac := X n A 2 A, 1 S Ai 2 A (c) (Ai )i2N A ) i=1 (Stabilité par réunion dénombrable). Si A est une tribu sur X, on dit que (X; A) est un espace mesurable et un ensemble A 2 A est dit A mesurable ou simplement mesurable s’ n’ a pas de confusion à craindre. il y P(X) est la plus grande tribu sur X tandis que f;;

Les attributs de R sont divisés en deux ensembles (i) D l’ensemble des attributs dimensions, aussi appelés catégories ou attributs nominaux, qui correspondent aux critères d’analyse et (ii) M l’ensemble des attributs mesures. 2.1. Espace de recherche : treillis cubes L’espace multidimensionnel d’une relation d’attributs catégories r regroupe toutes les combinaisons valides construites en considérant l’ensemble des valeurs des attributs de D, ensemble enrichi de la valeur symbolique ALL. L’espace