Helmut Newton

D Evolution temporelle des systèmes mécaniques 1 La mécanique de Newton Le vecteur vitesse Définissons rigoureusement le vecteur vitesse instantanée Dans le repère (O, [pic], [pic], [pic]) lié au référentiel d’étude, un point M est repéré par le vecteur position [pic]. Le point M est en mouvement par rapport au référentiel et donc [pic]est une fonction du temps. L’utilisation du vecteur position [pic] permet d’écrire : [pic] (cf. cours 1ère S) [pic] représente la vitesse pour un intervalle

∈ (C∗ × C). En particulier, pour Q = , on a Q−1 AQ = T et donc A est semblable à T . c) Soit n ∈ N. On a T = λI2 + E1,2 . Déjà, on a E2 = 0 et donc ∀k ≥ 2, Ek = 0. Comme les matrices λI2 et E1,2 1,2 1,2 commutent, la formule du binôme de Newton permet d’écrire T n = λn I2 + nλn−1 E1,2 = Mais alors ∀n ∈ N, An = Q λn 0 nλn−1 λn Q−1 . λn 0 nλn−1 λn . I.A.5) • Si A admet deux valeurs propres distinctes, A est semblable à une matrice diagonale d’après la question I.A.3). Dans ce cas, A est

1ère loi de Newton : le principe d'inertie Lorsque les forces qui s'exercent sur un solide se compensent, son centre d'inertie persévère en son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme. Si le centre d'inertie est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme alors la somme des forces qui s'exercent sur le solide est nulle. Référentiel galiléen : Dans un référentiel galiléen, le principe d'inertie est vérifié. Exemples : Un solide au repos posé sur une table vérifie le principe

Feuille d’exercices 11 Polynômes Définitions 1. Calculer le degré et le coefficient dominant de : (a) X 3 − 3iX + X ( X − 2 + i )2 (b) ( X − 2)n − ( X + 1)n (c) n k =0 ∏ ( X k − 2k ) P( X 2 ) = X 2 P 2. Résoudre dans K[ X ] On commencera par trouver une condition nécessaire sur le degré d’une solution. 3. POur n ∈ N∗ on pose Pn = 1 ( X + i )2n+1 − ( X − i )2n+1 2i . Montrer que Pn ∈ R[ X ], calculer son degré, son coefficient dominant (et ses racines). Division euclidienne 4. Calculer

quelconques est d’abscisse x(t). (figure 1) t(s) Les frottements sont négligeables. 0 0,1 Le solide (S) est mis en oscillations. L’enregistrement ci-contre (figure 2) est -5 celui de son élongation x(t). Figure 2 1/ En appliquant la deuxième loi de Newton ( R.F.D ) au solide (S), établir l’équation différentielle a la quelle satisfait l’élongation x(t) au cours de mouvement de (S). (utiliser la figure de la page à rendre.) (0,75pt ; A1) 2/En exploitant l’oscillogramme de la figure 2, déterminer l’expression

parmi 2 rouges. Le nombre de cas total est 10 (question précédente). Donc: Remarque Les nombres servent aussi à développer une expression du type . En effet : Cette propriété est connue sous le nom de formule du binôme de Newton.

3 : 1/ Voir cours et fiche de rappels en TD. 2/ a) Référentiel terrestre considéré comme galiléen. Référentiel mobile lié à l’ascenseur, en translation à accélération constante par rapport au référentiel fixe, donc non galiléen. b) La 2ème loi de Newton dans le référentiel mobile impose de tenir compte de la force d’inertie d’entraînement :  Fx Fy et . S’il y a égalité entre ces deux termes, alors la force est conservative. Ici c’est le y x   d2z  P  fie m .ez dt 2   d2z   mg

 dans  un  repère  x  et  y  avec  une  origine  O  que  l’on   aura  au  préalable  déterminé.     Document 2 : composantes vectorielles 1 2. La 3e loi de Newton : le principe des actions réciproques : La  3e  loi  de  Newton  est  :   «  Tout   corps   A   exerçant   une   force   sur   un   corps   B   subit   une   force   d'intensité   égale,   de   même   direction

Les lois de Newton. Cinématique. Référentiels d’étude. Description du mouvement d’un point au cours du temps : vecteurs position, vitesse et accélération. Définir et reconnaitre des mouvements particuliers Définir et reconnaître des mouvements (rectiligne uniforme, rectiligne uniformément varié, circulaire uniforme, circulaire non uniforme) et donner dans chaque cas les caractéristiques du vecteur accélération. Lois de Newton. Principe de l’inertie. 2ème loi de Newton et évolution

n p = n−1 p + n−1 p−1 Formule du binôme de Newton : Soient x, y ∈ C, soit n ∈ N, n (x + y) = k=0 n n k xk y n−k Cardinaux : Soient E et F deux ensembles finis, soit A une partie de E, Card(CE A) = Card(E) − Card(A) Card(E ∪ F ) = Card(E) + Card(F ) − Card(E ∩ F ) Card(E × F ) = Card(E). Card(F ) Card(F(E, F )) = Card(F )Card(E) Card(P(E)) = 2Card(E) 10 1.1.5 Structures algébriques usuelles Formule du binôme de Newton : Soit (A, +, .) un anneau, soient x, y ∈ A tels