Indépendance linéaire

Mamouni, CPGE Rabat MPSI-Maths CPGE My Youssef, Rabat R´sum´ de cours e e R´vision Alg`bre Lin´aire (Sup) e e e « ¯ É « © « ¯ É « ¯ º « mamouni.myismail@gmail.com www.chez.com/myismail « « ¬ ¬ ¬ « È « ö ¬ « « « « ¬ ¯ ª « « « ¬ « «« É ª « © « ¬ « ­ « « « ­ ¬ « © ¬ © Â © ª « « « ¬ ¯ « « « ã R´sum´ de cours: e e R´vision Alg` bre Lin´aire e e e Programme Sup 14 aoˆ t 2009 u Blague du jour Une femme arrive et voit son mari avec une tapette

et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés Exercice 7 [ 03156 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer ∀k, ∈ N, dim ker uk+ dim ker uk + dim ker u 1 Eléments d’algèbre linéaire Généralités d’algèbre linéaire Exercice 1 [ 00159 ] [correction] Soit f ∈ L(E) tel que pour tout x ∈ E, x et f (x) soient colinéaires. Montrer que f est une homothétie vectorielle. Projecteurs Exercice 8 [ 00165 ] [correction] Soient p et q deux projecteurs

conditions se vérifie par un système linéaire. Indication pour l’exercice 2 E est un sous-espace vectoriel de R4 . Une base comporte trois vecteurs. Indication pour l’exercice 3 C’est une base pour t = ±1. Indication pour l’exercice 4 Il n’y a aucune difficulté. C’est comme dans R3 sauf qu’ici les coefficients sont des nombres complexes. Indication pour l’exercice 5 Il suffit de montrer que la famille est libre (pourquoi ?). Prendre ensuite une combinaison linéaire nulle et regarder le terme de

Cours d’algèbre linéaire Khaoula Ben Abdeljelil 2 Table des matières Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 POLYNOMES 1.1 Algèbre des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Opérations sur K[X] . . . . . . . . . . . . . 1.2 Division des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Divisions suivant les puissances décroissantes 1.2.2 Algorithme d’Euclide, PGCD . . . . . . . . 1.2.3 Divisions

seule : Toute combinaison linéaire de F appartient à F (stabilité par combinaison linéaire) : ∀ u∈F, ∀ v∈F, ∀ λ ∈ R, ∀ µ ∈ R , λ u + µ v ∈ F Preuve. 1) Comme tous les éléments de F sont des éléments de E, ils vérifient naturellement toutes les propriétés de l’espace vectoriel. Le seul risque est qu’au cours des opérations, on sorte de F pour aller dans E : ce risque est 2 éliminé par les propriétés exigées par le théorème. 2.1) si F est stable par combinaison linéaire c’est à dire λ u + µ v ∈ F

FEUILLE 1 : ESPACES VECTORIELS 1. Dans l’espace vectoriel F(R, R) de toutes les fonctions d´finies sur R ` valeurs r´elles, muni e a e des lois usuelles, ´tudier si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de F(R, R) : e F0 = {f | f (0) = 0} , F1 = {f | f (0) = 1} , B = {f born´e} e , S = {f deux fois d´rivable | f + f = 0} e 1 I= E = f continue | 0 f (t) dt = 0 x→±∞ f continue | lim f (x) = 2. On consid`re l’espace vectoriel F(N, R) des suites de nombres r´els

INDEPENDANCE ROYALE Indépendance Royale, créée en 2003, est devenue en sept ans d’existence un des leaders français de la distribution de matériel pour personnes à mobilité réduite. A l’origine, William David STEADMAN, a effectué des recherches tout au long de sa vie. Après 3 générations d’efforts, Indépendance Royale est devenu le spécialiste européen de la mobilité des seniors. Elle perfectionne sans cesse, avec ses partenaires, la technologie et l’ergonomie de ses appareils. Indépendance Royale

la résolution 1244, résolution qui insistait sur le caractère provisoire de ce statut et affirmait son attachement à l'intégrité territoriale de la république fédérale yougoslave. Mais, le 17 février 2008, le Kosovo proclama unilatéralement son indépendance («  A partir de maintenant, nous sommes désormais un Etat indépendant, libre et souverain ») . Immédiatement, certains Etat reconnurent le Kosovo en tant qu'Etat et d'autres s'y opposèrent fermement . Suite à cette déclaration d'indépendance

salut , salut :) k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk kk k k k k k k k k k k kk kk k k kk kk k k k k kk fiufffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff- ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff- ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff- ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff-

x 0 ), K , f ( x 0 ) ) est libre} est majoré par n et non vide. Il admet un plus grand élément m . La famille x0 , f ( x0 ), f ( x0 ), K , f ( 2 m−1 On a prouvé que : f ( x0 ) ∈ Vect (( x0 , f ( x0 ), K , f m est une combinaison linéaire de x0 , K , f m+k ( ( x0 ) est libre et la famille x0 , K , f m ( x0 ) est liée donc f m ( x0 ) m−1 ) ( x0 ) . ) ( ) m −1 m −1 Supposons que : f c’est à dire que f m ( x0 ) ∈ Vect x0 , f ( x0 ), K , f ( ( x0