Inégalité de Markov

N. FOURCADE Peut-on mettre en évidence l’existence de rigidités à la baisse des salaires à partir de données individulles ? Le cas de la France à la fin des années 90 M. LECLAIR - P. PETIT Présence syndicale dans les firmes : quel impact sur les inégalités salariales entre les hommes et les femmes ? P.-O. BEFFY - X. BONNET - M. DARRACQPARIES - B. MONFORT MZE: a small macro-model for the euro area P. AUBERT - M. LECLAIR La compétitivité exprimée dans les enquêtes trimestrielles sur la situation et

σx . Dans ce cas très général, le dénominateur est d’ordre nσx2 et l’on retrouve bien une variance en 1/n. Les estimateurs des moindres carrés sont en fait optimaux en un certain sens, c’est ce que précise le résultat suivant. Théorème 1.3 (Gauss-Markov) Parmi les estimateurs sans biais linéaires en y, les estimateurs βˆj sont de variances minimales. Preuve. L’estimateur des MCO s’écrit βˆ2 = ni=1 pi yi , avec pi = (xi − x ¯)/ un autre estimateur β˜2 linéaire en yi et sans biais, c’est-à-dire :

bénéfices espérés. La méthode Six Sigma offre des techniques et outils simples accessibles à des non mathématiciens ou ingénieurs pour contrôler la capacité de production des processus tout en tentant de réduire les défauts. Par exemple, les inégalités de Markov ou BienayméTchebychev (cf. chapitre de statistiques) sont passées sous silence dans cette méthode ce qui est assez étonnant... Cette méthode se base principalement sur les lois de distributions classiques (cf. chapitre de statistiques) avec

convergence de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.4 Quelques remarques sur la précision des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Théorème de Gauss-Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Inférence statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

mesurerait la véritable amélioration qualitative. Une difficulté fondamentale subsiste. Le PNB ne donne aucune information sur la répartition du produit entre les agents économiques. Il exprime simplement des moyennes sans prendre en compte les inégalités de revenu qui pourraient exister entre des individus de classes sociales différentes. D’après MORGENSTERN [Tout ce qui a pour résultat une augmentation des dépenses est compté comme croissance, les panes du système sont inscrites en actif; si vous

3 Variance et convergence de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Quelques remarques sur la précision des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Théorème de Gauss-Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Inférence statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 2 )  .       ( ) ( ) ( ) Cette inégalité signifie que l’ampleur de la ruine moyenne d’une société pratiquant les risques X1 et X2 et disposant d’un capital de niveau ρ ( X1 + X 2 ) est plus importante que la somme de l’ampleur de la ruine moyenne de deux sociétés de capitaux respectifs ρ ( X1 ) et ρ ( X 2 ) couvrant respectivement les risques X1 et X2. Dhaene, Laeven et al. (2004) illustrent cette inégalité lorsque la mesure de risque considérée est la TVaR, en prenant

courbes d’efficacité ou d’ARL pour la carte CUSUM étant donné la complexité des limites de contrôle et les corrélations qui lient les Si . Les méthodes discutées dans la littérature pour analyser ces paramètres sont basées sur la théorie des chaînes de Markov ou sur des simulations de Monte-Carlo. Nous ne rentrons pas ici dans les détails de ces méthodes mais utilisons les résultats disponibles sous forme de courbes ou tableaux. Détermination des paramètres du masque en V sur base des risques de 1ère et

d − E(cY + d))) = E(ac(X − E(X))(Y − E(Y ))) = acE((X − E(X))(Y − E(Y ))) = ac Cov(X, Y ) . 87 Soit X une variable aléatoire réelle à valeurs positives ou nulles et h une fonction croissante de ] 0, +∞ [ dans ] 0, +∞ [ . Etablir l’inégalité de Markov : pour tout ε > 0 P(X ≥ ε) ≤ E(h(X)) . h(ε) Solution Notons X(Ω) = {x1 , . . . , xn }. On a alors n h(xi )P(X = xi ) E(h(X)) = i=1 = h(xi )P(X = xi ) + {i | xi ≥ε} h(xi )P(X = xi ) . {i | xi <ε} Mais comme la deuxième somme est positive, on

α-optimale au sens de Pareto du problème de − programmation linéaire multiobjectif si et seulement s’il n’existe pas de → x ∈ X a, ˜ b˜ → − → − → − → − ∗ ˜ et de (a, b, c) ∈ Lα a, ˜ b, c˜ tels que c i · x ≤ c i · x , i = {1, · · · , k} avec une inégalité stricte pour au moins un i. Les paramètres (a∗ , b∗ , c∗ ) sont appelés paramètres optimaux de niveau α. − − Nous allons maintenant déterminer l’allure des fonctions d’appartenance µi (→ c i ·→ x ), i = {1, · · · , k}. On commence par calculer les