Inégalité de Markov

n’existeraient pas). Cette description est bien entendu valable pour des phénomènes fortuits constitués d’épreuves successives totalement identiques, mais également dans des cas plus généraux où des phénomènes de dépendance apparaissent (chaîne de Markov, mouvement brownien). Cependant, seul le premier cas d’espèce permet de considérer la définition fréquentiste de la probabilité (voir § 2.3). 1.4. Formalisation Une théorie mathématique est par essence abstraite et indifférente à l’existence

Hypothèse 5 (homoscédasticité): La variance du terme aléatoire conditionnelle à x1 ; :::; xK est constante. En d’ autres termes, var(ujx1 ; :::; xK ) = 2 34 Modèle de régression linéaire multiple 2: Espérance et variance des estimateurs Remarque: Markov’ . Les hypothèses 1 à 5 sont amppelées ‘ hypothèses de Gauss- Theoreme 2 (variance des pentes des MCO): Sous les hypothèses 1 à 5, 2 var( ^ j ) = PN 2 1 Rj xj )2 i=1 (xji 2 où Rj est le coe¢ cient de détermination de la régression de xj sur toutes

peut modéliser de nombreux phénomènes aléatoires positifs. Y Si Y est une v.a. qui suit une loi bêta de type I et de paramètres r et s, le quotient X = -----------1–Y suit une loi bêta de type II et de mêmes paramètres. Bienaymé-Tchebychev (inégalité de) 21 A Formulaire Deux paramètres réels r > 0 et s > 0 ; valeurs sur les réels positifs. ➤ Loi de probabilité B C – densité : 1 xr – 1 f ( x ) = ---------------- ⋅ ------------------------ ( x ≥ 0 ) B ( r, s ) ( 1 + x ) r

de loi gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . TABLE DES MATIÈRES 5 4.6.4 Variables aléatoires normales (ou variables gaussiennes) Des inégalités fameuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Inégalité de Bienaymé-Chebyshev . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Vecteurs aléatoires

géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[. En déduire l'espérance et la variance de X dans chacun des cas. Calculer la fonction génératrice de de loi de Bernoulli de paramètre variable aléatoire Inégalités Exercice 5 1. Soit X une variable aléatoire intégrable. Montrer que pour tout a ∈ R+ (Markov) P(|X| ≥ a) ≤ E(|X|) . a 2. En déduire que si X est de carré intégrable alors pour tout a ∈ R+ (Tchebyche ) P(|X − E(X)| ≥ a) ≤ V ar(X) . a2 n ∈ N∗ . On

1 Loi de Bernouilli . . . . . . . 6.3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . 6.3.3 Loi de Poisson . . . . . . . . 6.3.4 Loi exponentielle . . . . . . . 6.4 Modèles stochastiques . . . . . . . . 6.4.1 Processus stochastiques . . . 6.4.2 Chaînes de Markov . . . . . . 6.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Processus aléatoires 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 Définitions Processus équivalents Moments Continuités Processus stationnaires Exemples de processus aléatoires Martingale Mouvement brownien Marche au hasard Processus et chaînes de Markov Processus ponctuels Application aux phénomènes d’attente 146 147 148 149 149 150 153 154 156 157 158 166 170 c Dunod – La photocopie non autorisée est un délit C Statistique inférentielle 10 • Caractéristiques d’un échantillon. Application

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Méthodes de quasi Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Ouverture : méthodes fondées sur les chaines de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration numérique des équations différentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Equations Différentielles Stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Propriété de Markov : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 Théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.6 Martingale exponentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lien avec les EDP stochastiques

8 9.9 9.10 9.11 9.12 116 120 124 125 127 127 132 139 141 146 Définitions Processus équivalents Moments Continuités Processus stationnaires Exemples de processus aléatoires Martingale Mouvement brownien Marche au hasard Processus et chaînes de Markov Processus ponctuels Application aux phénomènes d’attente 147 148 149 149 150 153 154 156 157 158 166 170 C Statistique inférentielle 10 • Caractéristiques d’un échantillon. Application aux échantillons gaussiens 10.1 Introduction 10.2 Définition