Inégalité de Markov

quasi-certain qu’au bout d’un certain nombre de jours toutes les personnes du groupe votent pour le même candidat. Partie I. Dans cette première partie, on se place dans le cas particulier d’un groupe de 4 personnes. On met en évidence une chaîne de Markov, la méthode d’étude est alors relativement classique. 1) Ces premières questions permettent de calculer les probabilités de transition entre états. Les candidats ont dans l’ensemble compris le protocole mais ont souvent eu des difficultés à justifier

16 Graphes valués et problème du plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Graphes probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chaîne de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Graphes probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Les graphes en Terminale ES 34 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 Conditions d’optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 Contraintes d’égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 Contraintes égalité-inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 Approche numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 V Rudiments d’optimisation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 V.1 V.2

autour des trois points forts suivants : — En algèbre linéaire, la résolution des systèmes d'équations linéaires, le calcul matriciel et la structure vectorielle, ce qui permet l'étude des phénomènes itératifs à plusieurs dimensions ( chaînes de Markov) ; — En analyse, les phénomènes discrets, décrits par des suites, et les phénomènes continus, décrits par des fonctions, l'emploi de représentations graphiques pour l’étude qualitative et quantitative de ces phénomènes, la maîtrise des fonctions

Benamo. Le statisticien part de données qu’il a observées, puis va vers les mathématiques et enfin retourne vers l’application aux données. Il s’appuie sur des notions classiques comme la loi normale, le dénombrement, les combinatoires, la chaîne de Markov et les tests d’hypothèses. Fiabilité du travail: La statistique sans formule mathématique de Bernard Py, Statistiques méfiez-vous ! de Nicolas Gauvrit, Les statistiques et leur décodage sous la direction de Philippe Boulanger. Les statistiques

telles que |f | ≤ g (donc g est positive) et g est µ-intégrable alors f est µ-intégrable. 4) Si la fonction f est µ-intégrable, on a l’inégalité : f dµ ≤ |f | dµ. Preuve. La plupart de ces résultats s’obtiennent facilement. Démontrons la dernière inégalité. On a f dµ = f + dµ − f − dµ ≤ f + dµ + f − dµ = |f | dµ. 2 Introduisons maintenant la notion de négligeabilité. Définition 2.3.9 Soit (Ω, A, µ) un espace mesuré et P une propriété définie sur Ω. On dira que P est vérifiée µ-presque-partout (µ-p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 . 3 . 4 . 6 . 7 . 9 . 11 13 13 14 14 16 1 Exemples de processus stochastiques 1.1 Variables al´atoires i.i.d. . . . . . . . . . e 1.2 Marches al´atoires et chaˆ e ınes de Markov 1.3 Urnes de Polya . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Le processus de Galton–Watson . . . . . 1.5 Marches al´atoires auto-´vitantes . . . . e e 1.6 Syst`mes dynamiques . . . . . . . . . . e 2 Construction g´n´rale des processus e e 2.1 Pr´liminaires

; ce qui suggère que le processus X est de Markov. Theoreme 4.3. Soient σ(t, x) et b(t, x) des fonctions mesurables sur [0, T ] × R qui vérient les conditions de Lipschitz et de croissance linéaire en x. Supposons de plus que Z est une variable aléatoire F0 -mesurable avec E(Z 2 ) < ∞. Alors l'unique solution continue de l'équation stochastique intégrale t t Xt = Z + 0 b(s, Xs )ds + 0 σ(s, Xs )dBs (9) est un processus de Markov. Démonstration. Soit s ∈ [0, T ] et x ∈ R xé

loi du Chi deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.8 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.9 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.10 Processus de Wiener (ou mouvement brownien) . . . . . . . . . . 133 3.11 Problèmes et exercices pour l’Ingénieur . . . . . . . . . . . . . . . 136 ii TABLE DES MATIÈRES 4 EDO non-linéaire

 Inégalités 0. Techniques élémentaires. 1. Inégalités de réordonnement. 2. Inégalités de Tchebychev. 3. Inégalités tayloriennes. 4. Inégalités de convexité. 5. Inégalités de la moyenne. 6. Inégalités de Cauchy-Schwarz, etc. 7. Inégalités de Hardy. 8. Inégalités de Hilbert. 9. Inégalité de Muirhead. 10. Inégalités isopérimétriques.