Inégalité de Markov

euclidienne, on peut utiliser la définition sinon on définit l’application φ sur ExE par et on vérifie que φ est un produit scalaire. On aura alors Pour obtenir la norme N associée au produit scalaire φ, on définit sur E l’application N par 3. Inégalité de Cauchy-Schwarz Avant d’utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz, il faut préciser le produit scalaire à utiliser. 4. Base orthonormée Si on veut construire une base orthonormée d’un espace de dimension n à partir : - d’une base quelconque

marché. De plus, en notant K = {X ∈ R|Ω| /X(ω) ≥ 0, ∑ω∈Ω X(ω) = 1}, K est un convexe compact et H un sous espace vectoriel d’intersection vide avec K, il existe donc un vecteur u tel que ∑ω u(ω)y(ω) = 0 si y ∈ H ∑ω u(ω)y(ω) > 0 si y ∈ K La deuxième inégalité montre que ∀ω ∈ Ω, u(ω) > 0 donc P∗ défini par P∗ ({ω}) = u(ω)/(∑ω′ ∈Ω u(ω′ )) est bien une probabilité qui de plus est équivalente à P. De plus, la première égalité montre que E∗ ˜1 ˜d ∑ φ1 ∆Sk + . . . + φd ∆Sk k k n =0 k=1 ˜ Ce qui prouve

retirer les troupes soviétiques d'Europe centrale : "Les troupes soviétiques ne se trouveront qu'à quelques centaines de kilomètres des frontières, et leur présence invisible continuera à se faire sentir dans les Etats européens". [xxvii] Sergueï Markov, Interfax, 24/02/04 [xxviii] V. G. Sysoev „Evropeiski treugolnik“ Kommersant 2/02/04 [xxix] En témoigne par exemple la récente mésaventure d’ENI. Lors de la visite du président Poutine en Italie, ENI a obtenu le droit de réexporter le gaz russe

3 Variables aléatoires absolument continues . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 Fonction génératrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5 Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.6 Trois inégalités utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4 Lois usuelles 4.1 69 Lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

préparatoires économiques et commerciales toutes options (Ellipses). (e) Recueils d’annales corrigées (Ellipses), pour la première année, les sujets de la voie économiques sont plus indiqués que ceux de la voie scientifique. Table des matières 1 Inégalités dans R 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .

S0 (R − u) ≥ 0, - dans l’état "up", X1 0,−1 = S0 (R − u) > 0 . 2 - dans l’état "down", est X1 Remarque 2.3.1 Pour créer un arbitrage, on a de nouveau acheté celui qui rapporte le plus et vendu celui qui rapporte le moins. Finalement, si l’une des inégalités dans d < R < u n’était pas vérifiée, un des actifs rapporterai toujours plus que l’autre et l’hypothèse d’AOA’ ne serait plus vérifiée. ˜ Introduisons X, la valeur actualisée du portefeuille X définie pour i = 0, 1 par : X x,∆ ˜ Xix,∆ := i i . R ˜

. . 91 15. La conjecture de Borsuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Analyse 107 16. Ensembles, fonctions et hypothèse du continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 17. À la gloire des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 18. Un théorème de Pólya sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 19. Sur un lemme de Littlewood et Offord . . . . . . . . . . . . . . . . .

−1 - dans l’état "up", X1 = S0 (R − u) ≥ 0, 0,−1 - dans l’état "down", est X1 = S0 (R − u) > 0 . 2 Remarque: Pour créer un arbitrage, on a de nouveau acheté celui qui rapporte le plus et vendu celui qui rapporte le moins. Finalement, si l’une des inégalités dans d < R < u 11 n’était pas vérifiée, un des actifs rapporterai toujours plus que l’autre et l’hypothèse d’AOA’ ne serait plus vérifiée. ˜ Introduisons X, la valeur actualisée du portefeuille X définie par: X x,∆ ˜ Xix,∆ := i i . R Définition

. . . . . . . . . . . . . . . . 14.12Approche par équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . 14.13Approche par équations aux dérivées partielles: frontière libre . . . . . 14.14Approche par équations aux dérivées partielles: inégalité variationnelle 14.15Une solution analytique dans le cas du put américain . . . . . . . . . . 14.16Approximation de la forme de la frontière d’exercice . . . . . . . . . . . 14.17Utilisation des méthodes de simulations . . . . . . . . . . . . . .

N. FOURCADE Peut-on mettre en évidence l’existence de rigidités à la baisse des salaires à partir de données individulles ? Le cas de la France à la fin des années 90 M. LECLAIR - P. PETIT Présence syndicale dans les firmes : quel impact sur les inégalités salariales entre les hommes et les femmes ? P.-O. BEFFY - X. BONNET - M. DARRACQPARIES - B. MONFORT MZE: a small macro-model for the euro area P. AUBERT - M. LECLAIR La compétitivité exprimée dans les enquêtes trimestrielles sur la situation et