Inégalité de Markov

116 120 124 125 127 127 132 139 141 146 Définitions Processus équivalents Moments Continuités Processus stationnaires Exemples de processus aléatoires Martingale Mouvement brownien Marche au hasard Processus et chaînes de Markov Processus ponctuels Application aux phénomènes d’attente 147 148 149 149 150 153 154 156 157 158 166 170 C Statistique inférentielle 10 • Caractéristiques d’un échantillon. Application aux échantillons gaussiens 10.1 Introduction

d’arrêt optimal et options américaines 1 Notion de temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Enveloppe de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Décomposition des surmartingales . . . . . . . . . . . 4 Enveloppe de Snell et chaînes de Markov . . . . . . . 5 Application aux options américaines . . . . . . . . . . 5.1 Exercice et couverture des options américaines 5.2 Options américaines et options européennes . . 6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Démonstration Puisque f (x) = xn définit une fonction convexe sur la demidroite positive, on peut écrire pour x et y positif que ( x+y n 1 ) ≤ (xn + y n ), 2 2 et donc |X + Y |n ≤ (|X| + |Y |)n ≤ 2n−1 (|X|n + |Y |n ). Une autre méthode pour obtenir cette inégalité est de montrer que g(t) = 2n−1 (tn + 1) − (t + 1)n atteint son minimum sur [0, + ∞[ en t = 1 et de considérer g(x/y). Si maintenant les espérances de |X|n et de |Y |n sont finies, on en déduit d’après la fin du théorème 5.2 que l’espérance de |X +

ln(1,05) , la variation σ 2 σ du brownien drifté. Proposition Soit Bt un mouvement brownien, a > 0, on note Ta = inf (t ≥ 0; Bt = a) alors P (Ta t) = 2P (Bt ≥ a) 1 a2 et la densité de Ta est f (s) = a(2πs ) 2 e 2s .1s≥0 . 3 Preuve La propriété de Markov forte du brownien nous donne :Wt = Bt+Ta − BTa est 4 un mouvement brownien indépendant de FTa P (Bt ≥ a) = = = = = P (Ta P (Ta P (Ta I(s P (Ta 2 ∞ t, Bt ≥ a) (par continuit´ du brownien) e t, Bt − BTa + BTa ≥ a) t, Wt−Ta ≥ 0) (car BTa =

6.2.4 Fonction de répartition . . . . . . . . 6.3 Espérance d’une variable aléatoire . . . . . . 6.3.1 Généralité . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Espérance conditionnelle . . . . . . . 6.3.3 Théorème de transfert et applications 6.3.4 Inégalités de Markov . . . . . . . . . 6.4 Variance et covariance . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Variance, écart type et autre moments 6.4.2 Covariance . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Pour les TD . . . . . .

son statut du membre du parti communiste? C.M. Sa personnalité chaleureuse, sa générosité proverbiale, sa franchise et son caractère combatif, lui valurent jalousies et inimitiés autant que l’affection de ses amis, comme Jean-René Suratteau, Walter Markov, Armando Saitta, Jacques Droz, Anatoli Ado, ou moi-même. Sa fidélité, non-alignée, je le précise, au Parti communiste français, jusqu’à sa mort en 1982, dressa contre lui une grande variété d’anti-communistes de droite et même de gauche… Hors de France

du vocabulaire de base relatifs aux inégalités ; – l’introduction de fonctions pour établir des inégalités ; – la manipulation des fonctions classiques ; – le calcul de limites, de dérivées et de primitives ; – l’utilisation des notations techniques fondamentales du calcul algébrique. C ONTENUS C APACITÉS & COMMENTAIRES a) Inégalités dans R Inégalités larges, inégalités strictes, intervalles de R. Compatibilité avec les opérations. Valeur absolue, inégalité triangulaire. Dresser un tableau de

norme euclidienne, on peut utiliser la définition sinon on définit l’application φ sur ExE par et on vérifie que φ est un produit scalaire. On aura alors Pour obtenir la norme N associée au produit scalaire φ, on définit sur E l’application N par 3. Inégalité de Cauchy-Schwarz Avant d’utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz, il faut préciser le produit scalaire à utiliser. 4. Base orthonormée Si on veut construire une base orthonormée d’un espace de dimension n à partir : - d’une base quelconque,

patrimoine. (Faillite, dépôt de bilan). Si cette inégalité est générale, le système productif dans son ensemble est donc virtuellement en faillite. Il n’arrive pas à se reproduire lui même. Il n’arrive pas à rembourser son capital initial. C’est donc un système en crise. C’est la paupérisation. On parle n’inégalité de crise. 4 -3 Les facteurs de la crise selon le circuit keynésien : Qu’es ce qui est susceptible d’amener l’économie à cette inégalité. L’égalité d’équilibre au pôle E : U+Y+ (I-F)=U+I+J+C+X-H

notion de coupure de l'ensemble des rationnels. Il faut quasiment attendre le milieu du siècle pour qu'enfin on s'intéresse aux inégalités. Tchebyschev, dans sa démonstration élémentaire du postulat de Bertrand, est l'un des premiers à les utiliser. Un peu avant, Bessel et Parseval, en s'occupant des séries trigonométriques démontrent ce qu'on appelle aujourd'hui les inégalités de Bessel-Parseval. La grande application des séries trigonométriques reste la théorie de la chaleur de Fourier, même si ce