Inégalité de Markov

√ 1 3 = · 3 3 √ 10. Produit scalaire 3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la norme euclidienne d’un vecteur de coordonnées (x, y) est justement égal à (x, y) : u u y 2 = x2 + y2 x O Théorème 1 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Pour tout couple (x, y) de vecteurs de E, on a l’inégalité : | x, y | x y , avec égalité si, et seulement si, x et y sont colinéaires. Preuve Soient x, y deux vecteurs de E. Si y = 0, l’inégalité est vérifiée. C’est

plus utilisée en pratique car elle permet d'approcher la fonction de répartition de X n par celle de X lorsque n est « grand ». II Théorèmes limites • Inégalité de Markov Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( ,F ,P) admettant un moment d'ordre 1. Alors nous avons, pour tout ε > 0 , P (|X| • ε) E (|X|) · ε Inégalité de Bienaymé-Tchébychev Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( ,F ,P) admettant un moment d'ordre 2. Alors nous avons, pour tout

fini et pas infini comme il a été supposé par Liberatore (1979). Mohebbi (2003) a étudié ce problème sous la condition que demande suit une loi de Poisson et le délai d’approvisionnement suit une loi d’Erlang en modélisant cela par une chaîne de Markov à temps continu. Les fournisseurs sont soit disponibles, soit ne le sont pas, à tout point de l’échelle du temps. Il y a donc des interruptions dans les approvisionnements, ce qui provoque des impacts négatifs sur le niveau de service. Les demandes

intervalle fini et pas infini comme il a été supposé par Liberatore (1979). Mohebbi (2003) a étudié ce problème sous la condition que demande suit une loi de Poisson et le délai d’approvisionnement suit une loi d’Erlang en modélisant cela par une chaîne de Markov à temps continu. Les fournisseurs sont soit disponibles, soit ne le sont pas, à tout point de l’échelle du temps. Il y a donc des interruptions dans les approvisionnements, ce qui provoque des impacts négatifs sur le niveau de service. Les demandes

Retenons aussi Soljenitsyne, qui fait 8 ans de Goulags, d’ou il sort au début des années 1950, ces livres sont Une journée d’Ivan Denissovitch qui paraît en 1962, et L’Archipel du Goulag en 1973, en est expulsé de l’URSS en 1974. Dernier exemple, Georgi Markov, dissident bulgare qui arrive à fuir aux UK, mais meurt en 1978, assassiné par la technique du parapluie bulgare, victime de la guerre de l’ombre. La population polonaise bouge en 1968, on remarque des émeutes de la fin qui témoignent d’une agitation

|fn | ≤ g avec g ∈ L1 (Ω, A, µ). Si on suppose que (fn ) converge simplement vers f sur Ω alors : n→∞ lim fn dµ = f dµ. On peut étendre le Théorème de Lebesgue dans le cas où (fn )n converge presque partout vers f . Théorème 1.1.5 (Inégalité de Jensen) Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé, soit φ : R → R une fonction convexe et soit f : Ω → R mesurable telle que φ(f ) soit une fonction intégrable par rapport à P . Alors : φ f dP ≤ φ(f ) dP. • Mesures induites et densités 1.1

d’élimination pour les systèmes d’inéquations. 49 - En principe, l’algorithme du Simplexe requiert des variables non négatives et un sens déterminé des inégalités, mais l’usage des variables d’écart permet de contourner certains (1) (2) (1) (2) obstacles. On pose en effet x1 = xi + xi avec xi ≥ 0 et xi ≥ 0. De même le sens des inégalités n’est pas un problème : M X ai .xi ≤ 0 M X ai .xi ≥ 0 i=1 i=1 devient et devient M X ai .xi + XM +i = 0 M X ai .xi −

connaissances de base de la caractérisation du signal de parole à la fois par analyse banc de filtres, par analyse prédictive LPC et analyse homomorphique (cepstrale). On abordera également les techniques statistiques de classification par modèles de Markov cachés en insistant sur les méthodes d'entraînement (Viterbi et Estimate-Maximize). Ces techniques seront appliquées à l'indexation en identifiant des mots clés dans un enregistrement sonore. Les méthodes de segmentation en bruit/parole, musique/parole

5 Soit un échantillon (X1 , ..., Xn ) de loi commune gaussienne, Xi ∼ N(µ, σ 2 = 3). La famille P de lois de probabilités de (X1 , ..., Xn ) est donc connue au paramètre µ près. Les hypothèses paramétriques sont décrites par des égalités ou des inégalités. 24 Définition 17 Une hypothèse paramétrique est dite simple si une seule valeur de θ est testée, par exemple µ = 1. Dans le cas contraire, elle est dite composite ou multiple. Test d’hypothèses : Il existe deux hypothèses : – H0 (la valeur

SVMPerf 66 secs 0.2278 6.03% Stochastic Gradient (svmsgd) 1.4 secs 0.2275 6.02% Stochastic Gradient (svmsgd2 1.4 secs 0.2275 6.01% Apprentissage Statistique - P. Gallinari Annexe : Optimisation Problèmes sous contraintes égalités, inégalités  Soient   , , ,…, , , des fonctions définies sur ,…, à valeur dans On considère le problème primal suivant (pb. 0) :  118 , ∈Ω⊂ Sous contraintes 0, 0, Fonction objectif 1, … ,k 1, … ,m ∈ Ω: 0 0 noté noté 0, 0 , région