Intégrale de Lebesgue

Faulhaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moyennes d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irrationnalité de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zéros d’une base

(t)dt = 0. On souhaite prouver que, dans l’intervalle [a, b], il existe au moins n + 1 points o` f s’annule en changeant de signe. u 1. Traiter le cas n = 0. 2. Traiter le cas n = 1. 3. Traiter le cas g´n´ral. e e Exercice 5 - Lemme de Riemann-Lebesgue - L2/Math Sup Soit ϕ une fonction en escalier sur [a, b]. On pose b un = a ϕ(x) sin(nx)dx. Montrer que limn→+∞ un = 0. Montrer que cette propri´t´ est conserv´e si ϕ est continue par ee e morceaux sur [a, b]. Exercice 6 - Approximation

(s, k, θ1 , j, ℓ, θ2 , u, θ3 , v, θ4 ) définie sur R+ × E1 avec E1 = N × R+ × N × N × R+ × U × R+ × U × R+ avec comme intensité, les mesures de comptage et de Lebesgue associées aux différents espaces ; – et pour ce qui est du rétablissement, on se donne dQ2 (s, i) définit sur R+ × N de mesure d’intensité le produit de la mesure de Lebesgue et de la mesure de comptage. On notera : kµS (k) µSt (k)λt (k) = rNtIS t S (2.8) Nt Le système s’écrit alors : t µSt = µS0 − 0 E1 δk 1θ1 ≤λs− (k)µSs − 1

réelle C.1 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . C.2 Dérivation des fonctions à variable réelle C.3 Variation des fonctions . . . . . . . . . . C.4 Développements limités . . . . . . . . . . C.5 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . C.6 Intégrale des fonctions réglées . . . . . . C.7 Calculs des primitives . . . . . . . . . . . C.8 Fonctions intégrables . . . . . . . . . . . C.9 Équations différentielles . . . . . . . . . Formules de trigonométrie circulaire Formules de trigonométrie hyperbolique

7 Au XVIIe siècle Les mathématiques portent leur regard sur des aspects physiques et techniques. Fils de deux pères, Isaac Newton et Gottfried Leibniz, le calcul infinitésimal fait entrer les mathématiques dans l'ère de l'analyse (dérivée, intégrale, équation différentielle). Le XVIIIe siècle L'univers mathématiques du début de XVIIIe siècle est dominé par la figure de Leonhard Euler [14] et par ses apports tant sur les fonctions que sur la théorie des nombres, tandis que Joseph-Louis Lagrange

Cours “Calcul Différentiel et Intégral I” Wolfgang Bertram 8 décembre 2006 ii Introduction Introduction Le sujet de ce cours est l’étude et l’analyse des fonctions de plusieurs variables, f : Rn → Rm , ou, plus généralement f : V → W , où V et W sont des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions

qu’il n’existe pas de mesure positive µ d´finie sur P(R), invariante par e e translation, (i.e. telle que µ(X) = µ(X + t) pour toute partie X de R et tout r´el t), et e telle que µ([a, b]) = b − a pour a ≤ b. d. Montrer que A ∈ L, o` L est la tribu de Lebesgue. / u Corrig´. (a) Consid´rons l’ensemble quotient [0, 1]/ ∼, i.e. l’ensemble des classes d’´quivae e e e lence {Xi }i∈I . Chaque Xi est une classe d’´quivalence et est donc non vide. En utilisant ee l’axiome du choix, on peut trouver une famille

mj dx, en vérifiant bien (exactement comme ci-dessus) l’existence de chacune des intégrales apparaissant dans la dernière somme. Poursuivons le calcul, en effectuant dans chaque intégrale le changement de variable linéaire x = mj u : q F (s) = j=1 q rj m−s j rj m−s j j=1 +∞ 1/mj +∞ 1 u−s−1 A(u)du q = u−s−1 A(u)du − j=1 rj m−s j 1/mj 1 u−s−1 A(u)du 9 (toutes les intégrales écrites existant !). Or, sur q 1 mj , 1 q , la fonction A vaut 1. On en déduit

s’int´ grer ? (c’est la question de l’int´ grabilit´ ; elle e e e est li´ e, entre autres, a des probl` mes de convergence). e e ` L’int´ grale de Riemann (Bernhard Riemann, 1854, publication posthume en e 1867) puis l’int´ grale de Lebesgue (Henri Lebesgue, 1902) ont marqu´ les esprits e e par leur formalisation aboutie. L’int´ gration est encore un sujet pour la recherche e contemporaine ; en t´ moigne des extensions telles que l’int´ grale d’Ito-, l’int´ grale e e e de Kurzweil-Henstock

fm,σ (y)dy . 2 ∞ 2 ∞ ∞ C'est bien une loi de proba : I = f (y)dy = −∞ f0,1 (y)dy = √ 0 e−x dx par −∞ m,σ π √ x−m changement de variable x− > , la parité puis le changement de variable x− > 2x. σ n'a pas d'expression explicite, seulement la forme intégrale x −∞ e−x −y dxdy = R+ ×[0,π/2] e−r rdrdθ = 0 e−r rdr dθ = 0 2 π/4 = 1. Cette loi admet des moments de tous les ordres. 1/2×π/2 = π/4. Donc I = √ π r En eet, pour tout r > 0, on a |x| fm,σ (x) est intégrable. = R+ ×R+ D'autre part : 2 2