Intégrale de Lebesgue

sommes de fonctions partout sans dérivée), de Banach-Steinhaus, du graphe fermé et de l’application ouverte (Chapitres I, II, IV, VI par exemple). 3. Intégration et théorie de la mesure : Une classe très intéressante d’opérateurs, les opérateurs intégraux, est étudiée au chapitre VIII, où la théorie de l’intégration est centrale, avec les théorèmes de Fubini et de convergence dominée (par exemple, dans l’exercice 10, le fait sous-jacent qu’une suite de fonctions uniformément bornées qui converge simplement

Théorème des Fonctions Implicites . 1.9.2 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Intégrales multiples 2.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exemple introductif . . . . . 2.1.2 Théorème de Fubini . . . . . 2.1.3 Changement de variables . . . 2.1.4 Intégrales doubles généralisées 2.2 Intégrales triples . . . . . . . . . . . 2.2.1 Exemple introductif . . . . . 2.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . 2.2.3 Changement de variables .

après des rappels et compléments sur les fonctions trigonométriques, arriveront leurs fonctions réciproques. Les rappels sur l’intégrale seront suivis de la présentation de méthodes de calculs indisponibles en terminale et de compléments sur les intégrales généralisées. Etc. Aussi, ne vous fiez pas à l’impression de déjà-vu qui sera fréquente...les difficultés arriveront toujours trop vite. 2 Première partie pour tous x, y > 0, ln(xy) = ln(x) + ln(y). Fonctions usuelles x 1 Alors

6.2.2 (Formule de Green). Soit Ω un ouvert de Rd régulier de classe C 1 . Alors, pour toute fonction w ∈ C 1 (Ω)d à support borné dans Ω, on a div(w)(x) dx = ∂Ω Ω w(x) · ν(x) dσx , (6.2.1) où dσx désigne la mesure surfacique sur ∂Ω (mesure de Lebesgue en dimension d − 1), · est le produit scalaire usuel de Rd et div(w) := ∂x1 w1 + · · · + ∂xd wd est la divergence de w := (w1 , . . . , wd ). En prenant w(x) := u(x) v(x), où u ∈ C 1 (Ω)d et v ∈ C 1 (Ω), on obtient div(w) = ∇v · u + v div(u). On

Applying the It6 formula to the process F (s,X(s)) gives us (5.28) PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 69 Since, by assumption, Factually satisfieseqn (5.26), the time integral above will vanish. If furthermore the process 0'(8,Xs )(8Fj8x)(8,X,) is sufficiently integrable and \e take expected values, the stochastic integral will also vanish. The initial value X t = x and the boundary condition F(T,x) = q,i(x) will eventually leave us with the formula F(t, x) = Et,x [c) (XT)l , where \e have

de mesure définie par une fonctionnelle linéaire et continue sur l’espace D0 des fonctions continues à support borné. Distributions régulières On examine maintenant des distributions particulières, nommées distributions régulières, définies par une intégrale et qui permettent d’associer de manière univoque une fonction localement sommable (c’est à dire sommable sur tout ensemble borné) et la distribution qui lui est associée. Nous utiliserons pour simplifier la même notation pour désigner une fonction

“s” ! 38. Why was six afraid of seven ? Because seven ate nine ! 39. What is 2k + k ? 3 000. 40. How can you tell that Harvard was planned by a mathematician ? The div school is right next to the grad school... 41. What is the value of the contour integral around Western Europe ? Zero. Because all poles are in Eastern Europe, except a removable amount of them ! 42. How do you call the largest accumulation point of poles ? Warsaw ! 43. Did you hear about the murderous mathematician ? He went on a killing

processes is inherently more difficult than that of discrete time processes. It is harder to construct the models precisely and much harder to demonstrate the existence of measurements on the models, e.g., it is usually harder to prove that limiting integrals exist than limiting sums. One can approach continuous time models via discrete time models by letting the outputs be pieces of waveforms. Thus, in a sense, discrete time systems can be used as a building block for continuous time systems. Another

Avant-Propos Pour cette seconde édition, nous avons apporté quelques modifications au texte primitif. Les premières concernent la correction d’erreurs plus ou moins importantes. L’erreur la plus sérieuse était une affirmation fausse concernant les intégrales stochastiques (voir le résumé des propriétés de l’intégrale stochastique à la fin de la section 4.1 du chapitre 3 et l’exercice 15, qui nous a été inspiré par Marc YOR). Nous avons ajouté quelques sujets de problèmes à la fin du chapitre 4. Ces

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Pierre Laurent, 1813-1854. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Henri Lebesgue, 1875-1941. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Joseph Liouville, 1809-1882. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .