Intégrale de Lebesgue

est F-mesurable, et e ´crirons X ⊆ F. La loi d’une variable al´atoire X ` valeurs dans (E, E) est l’application e e a PX −1 : E → [0, 1] A → P(X −1 (A)) = P{X ∈ A} . (2.1.3) L’esp´rance d’une variable al´atoire X est d´finie comme l’int´grale de Lebesgue e e e e E(X) = Ω X dP . (2.1.4) Rappelons que cette int´grale est d´finie en approchant X par une suite de fonctions e e ´tag´es Xn = i ai 1Ai , pour lesquelles Ω Xn dP = i ai P(Ai ). e e 13 14 ´ ´ CHAPITRE 2. CONSTRUCTION GENERALE

= 1 2 soit enfin : n 1+ lim n→∞ k=1 k n2 = √ e. Exercice 1.7 : Études de fonctions et suites adjacentes Cet exercice est long mais permet de réviser toutes les notions d’analyse de Terminale, à l’exception des intégrales. On peut directement traiter les questions 4 à 7 en admettant les résultats des trois premières. 1 On pose f (x) = ln 2 1+x 1−x − x , g(x) = x3 et h(x) = f (x) − g(x) . 3(1 − x 2 ) 1. Étudier f, g et h et tracer séparément leurs

définie en tout x de l’espace E, où la X prend ses valeurs, par : fθ (x) = Pθ (X = x). On peut en effet montrer grâce à la théorie de la mesure, que dans ce dernier cas la loi de X est absolument continue par rapport à la mesure de comptage sur E. Les intégrales de la forme x · · · dx utilisées dans le cas de v.a. absolument continues seront alors remplacées par des sommes de la forme x · · · . Ainsi, par exemple, l’espérance s’écrit dans le cas continu xfθ (x)dx et dans le cas discret x xfθ (x) = x xPθ

. . . . . . . . . . . . 9 Conditionnement et indépendance 9.1 Espaces probabilisés . . . . . . . 9.2 Conditionnement et indépendance 9.3 Probabilités totales . . . . . . . . 9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . 10 Intégration 10.1 Intégrale d’une fonction continue 10.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . 10.3 Calcul d’intégrales . . . . . . . . 10.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vetzal (2006)). 4. Les méthodes de Monte Carlo sont de plus en plus intéressantes compte tenu de la vitesse de calcul des ordinateurs. Historiquement, “the most common applications of Monte Carlo methods in numerical computations are for evaluating integrals”. (Gentle (2006)). 3 Un peu de modélisation et de mathématiques financières Formellement on se place sur un espace probabilité filtré (Ω, F, P). Ω représente tous les états du monde possibles. L’état ω ∈ Ω étant possible, cela signifie que P(ω)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Probabilités 8.1 Bases . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Conditionnement et indépendance 8.3 Probabilités totales . . . . . . . . 8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . 9 Intégration 9.1 Intégrale d’une fonction continue 9.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . 9.3 Calcul d’intégrales . . . . . . . . 9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . 10 Produit scalaire dans l’espace 10.1 Expressions du produit scalaire 10.2 Propriétés . . . . . . . .

209 Calcul intégral 69 Intégrale de Riemann 209 70 Primitives 215 71 Intégrale généralisée 217 72 Intégrale dépendant d’un paramètre 223 73 Intégrale multiple 232 IX 236 Séries 74 Fonction exponentielle complexe 236 75 Séries numérique 237 76 Familles sommables 247 77 Suites et séries de fonctions 249 78 Séries entières 78.1 Rayon de convergence . . . 78.2 Développement, sommation 78.3 Étude au bord . . . . . . . . 78.4 Équations différentielles . . 78.5 Intégrales . . . . .

(I) 65 Équations différentielles non linéaires (II) 66 Dérivées partielles 67 Étude d’extrémums 68 Équations aux dérivées partielles 165 167 169 177 178 VIII Calcul intégral 180 181 185 187 193 200 69 Intégrale de Riemann 70 Primitives 71 Intégrale généralisée 72 Intégrale dépendant d’un paramètre 73 Intégrale multiple IX Séries 203 203 205 213 215 223 223 225 227 228 229 230 231 232 232 233 234 234 235 236 236 74 Fonction exponentielle complexe 75 Séries numérique 76

résultats exacts auquels elles conduisent sont trop compliqués pour être utilisables. Le passage à l’infini est le passage de l’algèbre à l’analyse, donc à des approximations maniables et à de puissantes techniques issues du calcul différentiel et intégral. Quant au fait que dans ce passage à l’infini, on se limite à une infinité dénombrable d’évènements, c’est un point technique qu’on ne justifiera que dans un cours de 3 ème année d’université. Rappelons qu’un ensemble E avec une infinité d’éléments est

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