Intégrale de Lebesgue

particulier de la dimension 2, liens avec les fonctions holomorphes . . . . . III.4.1. Noyaux de Green et de Poisson du disque unité et fonctions harmoniques III.4.2. Fonctions sous-harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.4.3. Intégrale de Poisson et fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

analogue dans le cas de variables aléatoires continues : les probabilités individuelles de réalisation de x : P(X=x) sont simplement remplacées par des densités de probabilité au voisinage de x : f(x)*dx, et les sommations sont remplacées par des intégrales. Le fait que f définisse une densité de probabilité se vérifie en calculant l’intégrale sur R ∫ f ( x ) * dx , qui doit être égale à 1, puisque la probabilité de l’univers des possibles est égale à 1. L’espérance d’une variable aléatoire continue

e e r`me de continuit´. Compl´ments et exercices. e e e 79 99 e CHAPITRE 10. Mesures de Stieltjes-Lebesgue. Int´grale des variables al´atoires r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 e e Mesures. Mesures de Stieltjes-Lebesgue sur la droite. Mesure de probabilit´ induite par une fonction de r´partition. Mesures de e e n e e e Stieltjes-Lebesgue sur R . Variables al´atoires r´elles. Int´grale d’une variable al´atoire r´elle par rapport a une mesure. Exemples

Introduction aux équations intégrales browniennes Marie du Roy, Charlotte Perrin sous la direction de Mihai Gradinaru 20 avril 2011 Table des matières 1 Résultats préliminaires, mouvement Brownien 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 4.4 Dénition du mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques propriétés simples du mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation de fonctions et conventions . . . . . Construction de l'integrale

abstrait a été IQU N1933 (donc très récemment), sous le défini rigoureusement par Andrei Kolmogorov en CH nom de modèle probabiliste. Sa définition a nécessité préalablement le développement YTE OL de théories d’analyse importantes telles le calcul intégral et la théorie de la mesure. EP É C’est ce grand écart entre l’apparente simplicité de certains problèmes probabilistes concrets, et l’abstraction que nécessite leur résolution, qui peut rendre le monde de l’aléatoire difficile ou inquiétant, mais

photocopie non autorisée est un délit La proposition suivante permet d’obtenir un encadrement, souvent pertinent, des sommes partielles ou des restes d’un certain type de séries que l’on rencontre fréquemment. Proposition 8 (Comparaison avec une intégrale) Soit a un réel positif et f : [a, +∞[ → R une fonction continue par morceaux, décroissante. Alors pour tout entier n tel que n a + 1 n+1 n f (t) dt n f (n) n−1 f (t) dt. 95 Chapitre 4 – Séries numériques Preuve Pour tout t

intervalle contenant 0. e e Th´or`me I.5 formule d’inversion e e Soit P une probabilit´ sur (R, B) ayant pour transform´e de Fourier, ϕ(t). Si ϕ e e est int´grable par rapport ` la mesure de Lebesgue sur R (c’est-`-dire R | ϕ(t) | e a a dt < ∞), alors P poss`de une densit´ p par rapport ` la mesure de Lebesgue, e e a cette densit´ est continue et est donn´e par : e e p(x) = 1 2π e−itx ϕ(t)dt. 2.4.4 Ind´pendance et caract´risation de l’ind´pendance e e e Definition I.8 cas multivari´ e Soit

cours maths 3 \(2i\350me S.T.\)Table des matières 1 Intégrales simples et multiples 5 1.1 Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Propriétés de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Primitive d’une fonction

(c'est-à-dire une mesure \scriptstyle N de masse totale unitairea 3) unidimensionnelle (c'est-à-dire à support réel \scriptstyle \R). C'est une loi absolument continue, c'est-à-dire que la mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Autrement dit, il existe une densité de probabilité, souvent notée \scriptstyle \varphi pour la loi normale centrée réduite, telle que : \scriptstyle N(dx)=\varphi(x) \mathrm{d}x. Elle est généralisée par la loi normale multidimensionnelle. La loi

adjoints. Limites inductives et projectives. Catégories additives et foncteurs additifs. Catégories abéliennes. Catégories triangulées et catégories dérivées. MAT 712 3 cr. Mesure et intégration (3-0-6) Objectifs : développer l’intégrale de Lebesgue et obtenir ses propriétés. Contenu : théorie abstraite de l’intégration. Mesures de Borel et théorème de représentation de Riesz. Espaces Lp. Mesures complexes et théorème de Radon-Niko­ dym. Intégration sur les espaces produits et le théorème