Intégrale de Lebesgue

Proposition Soit f ∈ L1(Rn) une fonction intégrable, alors la transformée de fourier de f est une fonction continue sur Rn, bornée, et nous avons en plus ||f̂ ||L∞ ≤ ||f ||L1 Preuve Continuité de f̂ : On utilise le théorème de continuité sous signe intégrale, nous avons |e−2πixξf (x)| ≤ |f (x)| x 7→ e−2πixξf (x) est majoré par f qui est dans L1(Rn). La fonction ξ 7→ e−2πixξf (x) est continue par rapport à ξ. Par suite ξ 7→ f̂ (ξ) = ∫ Rn e−2πixξf (x)dx est continue. 7/58Transformée de Fourier Transformée

[correction] Pour n ∈ N , on pose sin(2nt) cos t dt sin t In = 0 dx pour n ∈ N, n 1 + xn 2 a) Déterminer une suite de fonctions (fn ) telle que 1. t − [t] dt − t 1 In = A+n A fn (t) dt 0 t − [t] dt t En déduire une nouvelle expression intégrale de un . c) On pose vn = nun b) Déterminer deux réels a et b tels que In = a + b +o n 1 n quand n → +∞ Montrer la convergence de la série de terme général vn − vn−1 − 1 2n d) En déduire un équivalent de un . Exercice 3 [ 02446 ] [correction]

convergence montone de Beppo-Levi L’int´egrale de fonctions r´eelles ou complexes Le th´eor`eme de convergence domin´ee de Lebesgue Unicit´e de mesures La mesure produit Le th´eor`eme de Fubini Int´egrales multiples ´ Evaluation, mesures de comptage et s´eries Existence de mesures Mesures sur R et la mesure de Lebesgue sur Rd L’int´egrale de Riemann versus celle de Lebesgue Construction de mesures Quelques applications Le th´eor`eme de changement de variables Une application du th´eor`eme de changement

⇒ distributions de Schwartz ' ⇒ distributions tempérées ' E S D E c Exemples 1: Distributions régulières: à f (x) on associe Tf = +∞ -∞ Exemples fondamentaux: Y'= δ Tf ' = f' + σ(a) δa f(x) ϕ(x) dx ( au sens de l'intégrale de Lebesgues) (σa = discontinuité en a) ' vp 1 = ln x ' Pf 12 = - vp 1 x Confusion de notation: on écrit souvent f pour Tf 1 loc x x T(t) T' T(t-a) T t a Tf ∈ Tf ∈ Tf ∈ Ainsi: LT (p) p LT (p) e-at LT (p) aLT (a p) S*T LS . LT -at Te LT

notions n'est clairement précisée. Il faudra plus d'un siècle pour éclaircir la plupart des questions relatives aux séries trigonométriques, avec la notion de fonction développée par Dirichlet (1829), et celle d'intégrale par Riemann (1854) puis par Lebesgue (1902). Signalons enfin que c'est en réfléchissant sur un problème d'unicité des séries trigonométriques que Cantor développa sa théorie des ensembles . Les formules de Fourier entrent dans un cadre beaucoup plus général, celui de l'analyse ou de

mathématiques Terminale S1 Chapitre 12 : Calcul Intégral Année scolaire 2008-2009 mise à jour 5 mai 2009 Fig. 1 – Henri-Léon Lebesgue et Bernhard Riemann On les confond parfois 1 Table des matières I Chapitre 12 : Calcul Intégral I.A Intégrale d’une fonction continue positive . . . . . . . . . . . I.A.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.B Intégrale d’une fonction continue négative . . . . . . . . . . . I.B.1 Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Convergence des suites et séries 5.1 Espaces vectoriels normés . 5.2 Familles sommables . . . . . 5.3 Séries numériques . . . . . . 5.4 Suites et séries de fonctions 5.5 Séries entières . . . . . . . . . 5.6 Séries de Fourier . . . . . . . 5.7 Intégrales à paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 5 7 7 7 12 16 16 18 19 19 23 27 28 30 31 31 31 32 33 34 34 37 39 39 41 41 1 Rappels de probabilités 1.1 Rappels sur la théorie de la mesure . . . . . . . . . 1.1.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Intégration de Lebesgue . . . . . . . . . . . 1.2 Applications en probabilité . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espérance de variables aléatoires . . . . . . 1.2.2 Fonction de répartition et quantiles d’une loi 1.2.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4

puissances généralisées sont également utilisées afin d’obtenir le développement en série de Taylor des fonctions réelles analytiques. En considérant le principe d’alternance apparaissant dans ces puissances géné- ralisées, des dérivées ainsi que des intégrales généralisées dépendantes de f sont introduites. Ces nouveaux concepts sont finalement utilisés afin de revisiter certains résultats classiques des mathématiques. En autres, de nouveaux résultats qui gé- néralisent le binôme de Newton ainsi que certaines

Le cours a principalement porté sur l’étude des espaces H2 , H∞ , H1 , et N pour le disque unité et le demi-plan : rappels sur les notions de base de la théorie des séries de Fourier, de la théorie de l’intégration et de la théorie de la mesure, intégrales de Poisson, théorèmes de Herglotz, de Fatou, de Szëgo-Riesz « log |f | ∈ L1 », des frères Riesz, factorisation de Smirnov-Nevanlinna, théorie de Beurling-Lax des espaces invariants pour le décalage discret ou continu, théorèmes de Szëgo-Kolmogorov-Krein