Intégrale de Lebesgue

alternative une deuxième méthode, celle du rapport de vraisemblance (likelihood ratio method). Le principe de la méthode est de supposer que les rendements des sous-jacents suivent une fonction de densité g. La fonction de payoff est alors définie comme une intégrale par rapport au sous-jacent de la fonction de densité actualisée. Pour obtenir les différents greeks il suffit de diviser le g dans la fonction de payoff par les différents paramètres. La méthode nécessite cependant de connaître la fonction de densité

3)on dit aussi problème de Cauchy :> 0 0Remarque 1.2. Pour tout ( t 0 , x 0) ∈ U , le problème ( 1.3 ) est équivalent à l’équation intégrale : ( Z ( ) = + ( ( ))d ) tx t x 0 t 0 f s, x s sRemarque 1.3. L’équation différentielle ordinaire de la forme x '(

avec les sommes de Riemann-Darboux. Grâce au concept de mesure, introduit par Borel (1894, 1897), Lebesgue élabore une théorie plus générale de l’intégration. Puis enfin, grâce à Radon vers 1913, les concepts de mesure et d’intégration, définis sur R et Rn , vont être étendus à des ensembles plus généraux sur lesquels on a défini une tribu. La notion de tribu, les théorèmes de décomposition de Lebesgue-Nikodym et l’existence des densités ont apporté un développement considérable à la théorie des probabilités

due à Cauchy (1820) et concernait essentiellement les fonctions continues. La théorie réellement "fondatrice" est due à Riemann (1854-1857). La théorie moderne a été développée par Borel et Lebesgue au tout début du XXe siècle. Dans ce chapitre, nous nous consacrerons à la théorie de Riemann. 4.1 Intégrale d’une fonction en escalier Définition 4.1.1. Soient a et b deux réels tels que a < b. Une subdivision de [a, b] est un n + 1-uplet σ = (a0 , a1 , . . . , an ) de Rn+1 tel que a = a0 < a1

avec les sommes de Riemann-Darboux. Grâce au concept de mesure, introduit par Borel (1894, 1897), Lebesgue élabore une théorie plus générale de l’intégration. Puis enfin, grâce à Radon vers 1913, les concepts de mesure et d’intégration, définis sur R et Rn , vont être étendus à des ensembles plus généraux sur lesquels on a défini une tribu. La notion de tribu, les théorèmes de décomposition de Lebesgue-Nikodym et l’existence des densités ont apporté un développement considérable à la théorie des probabilités

globalement Lipschitz et de croissance sous-lin´aire, et soit u e t S = inf{t > 0 : 0 1σ(s,Xs )>0 ds > 0} ∧ T. Alors, pour tout 0 < t ≤ T , la loi de Xt conditionnellement ` {t > S} est absolument continu par rapport ` la a a mesure de Lebesgue. 34 PETER TANKOV 1.5 0.25 1 0.2 0.5 1 0.15 0.9 0 1500 0.8 0.7 0.1 120 0.6 115 110 0.5 105 1450 1400 2 1350 1.5 1300 0.4 100 95 85 K 80 0.2 1 1250 0.3 90

de la GA, c’était encore autre chose : le schéma. Herméneutique de l’objet interne : Qu’est-ce que l’intégration ? Ca nait chez Leibniz : l’intégration est l’inverse de la dérivation. Puis Riemann explique que calculer une intégrale c’est calculer une surface. Puis Lebesgue, puis une amélioration avec le théorème de Riesz. L’intégration continue d’être interrogée et redéfinie plus précisément. Herméneutique de l’adjectif informel : Que veut dire « clos » ? Par exemple dans la notion de « corps

avec les sommes de Riemann-Darboux. Grâce au concept de mesure, introduit par Borel (1894, 1897), Lebesgue élabore une théorie plus générale de l’intégration. Puis enfin, grâce à Radon vers 1913, les concepts de mesure et d’intégration, définis sur R et Rn , vont être étendus à des ensembles plus généraux sur lesquels on a défini une tribu. La notion de tribu, les théorèmes de décomposition de Lebesgue-Nikodym et l’existence des densités ont apporté un développement considérable à la théorie des

∈ A. / Exemple 1.14 (Mesure de Lebesgue). Soit Ω = [0, 1] et B ([0, 1]) sa tribu borélienne. On appelle mesure de Lebesgue la probabilité λ : [0, 1] → R définie par λ (]c, d[) = d − c (1.2) Remarque 1.15. On peut montrer (voir [9]) qu’il n’existe pas sur ([0, 1], P([0, 1])) de probabilité autre qu’une mesure discrète (somme au plus dénombrable de masses de Dirac). En particulier, on peut exhiber une partie de [0, 1] ne possédant pas de mesure de Lebesgue. C’est pourquoi on munira naturellement

59 59 64 71 77 Éléments de topologie de Rn Rappels sur Rn Distance euclidienne Ouverts et fermés Parties convexes 88 88 91 94 98 Chapitre 4 1 2 3 4 Intégration sur un intervalle quelconque Définitions Propriétés des intégrales convergentes Cas des fonctions positives Chapitre 5 Fonctions de n variables – Continuité 1 Graphe d’une fonction 104 104 Table des matières 2 Continuité d’une fonction de Rn dans R 3 Opérations sur les fonctions continues