Intégration verticale

R f(x) = ekx => F(x) = (ekx / k) + C R F et G des primitives respectivement de f et g : (F + G)’ = (f + g) d’où ∫ (f(x) + g(x))dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx λ un réel quelconque, ∫ λf(x)dx = λ∫ f(x)dx Intégration par partie : ∫ u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫ u’(x)v(x)dx Démonstration : (uv)’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) <=> u(x)v’(x) = (uv)’(x) – u’(x)v(x) Il ne reste plus qu’a intégrer : ∫ u(x)v’(x)dx = ∫ ((uv)’(x) – u’(x)v(x))dx <=> ∫ u(x)v’(x)dx = u(x)v(x)

segment(2) [a, b]. On appelle intégrale de ¦ de a à b l'aire, exprimée en u.a., du domaine D suivant : D = {M(x, y) Î P tels que a  x  b et 0  y  ¦(x)} (D est le domaine délimité par la courbe de ¦, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations x = a et x = b) ò On note cette quantité : b a ¦ (t ) dt ou ò b ¦( x ) dx a Les réels a et b s'appellent les bornes de l'intégrale. 1 u.a. = une unité d'aire Illustration : y L'aire de D est de mesure

4. 5. 2 3 4 3 Ensemble des Nombres réels Limite et continuité Dérivabilité Etude d’une fonction EXERCICES 3 6 10 13 15 Primitives. Calcul intégral 16 1. 2. 3. 4. 5. 16 17 19 20 21 Primitives Intégration Méthodes d’intégration Calcul approché d’une intégrale EXERCICES Formule de Taylor. Développements limités 22 1. 2. 3. 4. 5. 22 23 24 26 27 Comparaison des fonctions Formules de Taylor Développements limités Applications

). Montrer que : ∀ A ∈ R2 , H f ◦ϕ (A) = t JH f (ϕ(A))J. [004150] Exercice 4151 Formule de Leibniz Soient f , g : R2 → R de classe C n . Calculer ∂ n ( f g) ∂ xk ∂ yn−k en fonction des dérivées de f et g. Correction [004151] Exercice 4152 Intégration de formes différentielles Déterminer les fonctions f : D ⊂ R2 → R vérifiant : 1. ∂f ∂x ∂f ∂y = = 2+x y 2+y x 198 1−y (x+y+1)2 2+x (x+y+1)2 2. ∂f ∂x ∂f ∂y = 3. ∂f ∂x ∂f ∂y = 4. ∂f ∂x ∂f ∂y = 2x + 1y = = y2 (x+y)2 x2 (x+y)2 = 2y

différentielle y ′ − y = g ′ équivaut à (e−x y (x)) = e−x g ′ (x) donc x y (x) = Kex + ex 0 e−t g ′ (t) dt x I.2 les solutions de (S) sont de la forme f (x) = Kex + ex 0 e−t g′ (t) dt avec f (0) = g (0) d’où x x x K = g (0) . Une petite intégration par parties donne 0 e−t g′ (t) dt = [e−t g (t)]0 + 0 e−t g (t) dt = x e−x g (x) − g (0) + 0 e−t g (t) dt. Ainsi x x f (x) = g (x) + ex 0 e−t g (t) dt = g (x) + 0 ex−t g (t) dt Comme on a procédé par équivalence on a bien LA solution

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe Exercice 1 - Avez-vous compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc 2 I= 1 7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3 Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit

T HÉORIE DE LA MESURE ET DE L’ INTÉGRATION . T HIERRY G ALLAY Transcrit par Tancrède L EPOINT 2009 U NIVERSITÉ J OSEPH F OURIER , G RENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction 1 Théorie générale de la mesure 1.1 Espaces mesurables . . . . . . . . . 1.2 Définition et exemples de mesures 1.3 Exemple : l’ensemble de Cantor . . 1.4 Complétion des mesures . . . . . .

Euler, Lambert, Liouville, Hermite, Wantzel, Lindemann, Lebesgue, Apéry et autres découvreurs de mathématiques. Annexe : Liens Internet : Preuves d’irrationalité et de transcendance Une preuve de l’irrationalité de e sans intégration (pour une preuve après le chapitre intégration, voir le sujet de juin 91 du bac D, dans les académies d’Amiens,…Rouen): http://gc.saliege.fr/ (site de Gérard Chevet) Une preuve de l’irrationalité de  : http://perso.wanadoo.fr/gery.huvent/html/irem.htm (site de Géry Huvent)

nouveaux pour les intégrales généralisées ; il suffira, x comme dans l'exemple précédent, d'effectuer ces opérations sur les intégrales ⌠ ⌡  f(t) dt      a avant de chercher la limite éventuelle de la fonction de x. Exemple Par récurrence et intégration par parties, on prouve que pour tout 3 n ‘ ˙ , l'intégrale +& tn e-t dt est convergente et vaut n! . ⌠ ⌡       0 Proposition 1 Si f et g ont des intégrales convergentes sur [a , b[ (ou ]a , b] , ]a , b[) , f + g et ¬f (¬ dans È ou Â) ont

Université de Cergy-Pontoise Licence S3 PC 2008-2009 cours no 2 : Intégrales généralisées Rappelons que les inégrales de fonctions réelles ont été définies sur un segment pour des fonctions continues par morceaux. Il est possible de généraliser cette construction à un certain type de fonctions bornées, définies sur des segments (on parle d’intégrale de Riemann ou d’intégrabilité au snes de Riemann) dont les fonction monotones font parties. Dans ce cours, nous nous intéresserons à des fonctions