Intégration verticale

Calculs d’intégrales. Primitives Primitives Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F ′ = f. Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale Théorème fondamental • Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I. • Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x → F(x) + C où

. b. Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente. 2. On note D le domaine du plan délimité par la droite (d) et les courbes représentatives des fonction h et logarithme népérien sur l’intervalle [1 ; 4]. En utilisant un intégration par parties, calculer l’aire de D en unités d’aire. 1,5 y 1 0,5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 x -0,5 -1 -1,5 1 D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Antilles, Juin 2007 Sujets de Bac Terminale S

424 Concours commun Agro INA ENSA Ière composition option générale 1/2 M ATHÉMATIQUES Durée : 3 heures PREM&RE COMPOSITION (Option générale) Concours commun INA-ENS! Le problème a pour objet I'étude de I'tquation différentielle (€1 xy' + y = - . 2 1 +x 1 Dans la partie 1, on étudie et on construit dans un repère orthonormé d'axes Or, Oy les courbes intCgrales de (El. Dans la partie II, on étudie une primitive de l'une des solutions de (€1. PARTIE 1 t t u d e des courbes

primitive (formelle) de est : La partie réelle de cette expression est : qui est donc une primitive de . La seconde technique de calcul à connaître est l'intégration par parties : Il faut penser à une intégration par parties quand l'un des facteurs de la fonction à intégrer a une dérivée plus simple, essentiellement un polynôme (dériver diminue le degré), (dérivée ), (dérivée ) ou (dérivée ). Encore faut-il connaître une primitive de l'autre facteur.

Les débuts de l'intégrale définie Tout d’abord, c’est Augustin Louis Cauchy qui a découvert comment trouver l’aire de n’importe qu’elle courbe, soit par des sommes de rectangles. Par la suite, dans les années 1850, Bernhard Reimann a repris les sommes, les a amélioré, et leurs a donné son nom, d’où vient les Sommes de Reimann. Ensuite, Gaston Darboux traduit les travaux de Reimann, et amène des améliorations : les sommes inférieures et les sommes supérieures. Rrésumé de la technique de

Intégration On considère un repère orthogonal [pic]. [pic] 1 unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle OIKJ. I – Intégrale d’une fonction positive Définition : On considère une fonction f continue et positive sur [pic]. [pic] est sa courbe représentative dans le repère [pic]. [pic] On définit le domaine D délimité par : • [pic], • Les droites d’équation [pic] et [pic], • L’axe des abscisses. L’aire de D, exprimée en unités d’aire, est le réel [pic]. Cette écriture

fonction g prend des valeurs ≤ ε et ≥ 0. Ainsi avec la subdivision σ = {x1 , . . . , x p } nous obtenons : ε σ 0 ≤ Sg ≤ (b − a) = ε b−a Comme On en conclut que g est Riemann-intégrable sur [0, 1]. Correction de l’exercice 5 cf André Gramain, Intégration, p. 7, Hermann (1998). Correction de l’exercice 6 Pour tout n ∈ N, on définit fn :]0, 1] → R par : fn (x) = ne−nx . Pour tout x ∈]0, 1], on a limn→+∞ fn (x) = limn→+∞ ne−nx = 0. On en déduit que la suite de fonctions fn converge ponctuellement (ou

TF06_transitoire_Laplace.xmcd TF06 - Transitoire - Exercice Régime transitoire - transformée de Laplace Un solide semi-infini subit sur la face (x=0) une élévation de température proportionnelle au temps (T = k t). La température initiale est 0°C. Déterminer le profil de température par la méthode de la transformée de Laplace. Quelle est la température à 10 cm à l’intérieur après un temps de 2 mn ? On donne : k = 0,5°C/s et α = 0,4 cm²/s. Pour faire ce calcul on rappelle que si on connaît l’original

Récapitulatif en maths I. Probabilité La somme de toutes les probabilités est égale 1. Union (OU) : Intervalle (ET) : Probabilité totale c’est-à-dire quand la probabilité de E se trouve dans plusieurs branches de l’arbre alors : Probabilité conditionnelle (sachant) : II. Suites 1. Suites arithmétique : r est la raison, c’est-à-dire qu’on ajoute ou toujours ce même nombre. C’est une variable fixe contrairement à Un qui varie.  Sinon, cette formule sert à calculer chaque terme (U1, U2

La Réunion, série S, 21 juin 2011 Exercice 1 - commun - 4 points 1. Le plan P et la droite D n’ont aucun point commun. 2. Les plans P et P ′ sont sécants suivant une droite de vecteur directeur −i + j + k. 3. L’ensemble des points M de l’espace qui sont équidistants des points A et B est le plan d’équation −4x + 2y + 5z − 52 = 0. −−→ −−→ 4. L’ensemble des points M de l’espace tels que M A − 3MB = 5 est une sphère dont le centre a pour coordonnées (−5; 5; 72). ➠ Pour voir les justifications (cliquer