Intégration

113 Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Généralités ......................................................................................................................................................... 117 Chapitre 2 > Intégration par parties .............................................................................................................. 125 Chapitre 3 > Intégrales et inégalités ...................................................................

réel donné. Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie). En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes. A l’aide d’une intégration par parties, calculer. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

une équation de la tangente T à la courbe C au point A d'abscisse 0 de C   g) Montrer que f réalise une bijection de [0; 1] vers un intervalle J à préciser. Calculer alors .   h) Tracer C et T dans le repère orthonormal  précédent.    i) Par une intégration par parties, calculer .      En déduire l'aire en cm2 du domaine plan délimité par la courbe C, l'asymptote (D) et les    droites d'équation x = -2 et x = 3.   Corrigé 2011 Détails Catégorie : Fonctions numériques   1)   et g est continue dérivable

4. 5. 2 3 4 3 Ensemble des Nombres réels Limite et continuité Dérivabilité Etude d’une fonction EXERCICES 3 6 10 13 15 Primitives. Calcul intégral 16 1. 2. 3. 4. 5. 16 17 19 20 21 Primitives Intégration Méthodes d’intégration Calcul approché d’une intégrale EXERCICES Formule de Taylor. Développements limités 22 1. 2. 3. 4. 5. 22 23 24 26 27 Comparaison des fonctions Formules de Taylor Développements limités Applications

R f(x) = ekx => F(x) = (ekx / k) + C R F et G des primitives respectivement de f et g : (F + G)’ = (f + g) d’où ∫ (f(x) + g(x))dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx λ un réel quelconque, ∫ λf(x)dx = λ∫ f(x)dx Intégration par partie : ∫ u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫ u’(x)v(x)dx Démonstration : (uv)’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) <=> u(x)v’(x) = (uv)’(x) – u’(x)v(x) Il ne reste plus qu’a intégrer : ∫ u(x)v’(x)dx = ∫ ((uv)’(x) – u’(x)v(x))dx <=> ∫ u(x)v’(x)dx = u(x)v(x)

que je veux calculer initialement. Mais, avec cette méthode, je tombe sur une intégrale tout aussi difficile à calculer... On va donc à nouveau transformer cette nouvelle intégrale : b ex cos(x) a dx On va utiliser à nouveau une intégration par partie. b b b ex cos(x) a dx = ex sin(x) a a ex sin(x) dx Cette fois, on a posé : Donc, dans ce cas : U(x) = ex U '(x) = ex et et V(x) = V '(x) = cos(x) sin(x) On remplace maintenant

) si x  0 g(x) =  .  0 si x  0 3) a) Montrer que g est positive sur IR. b) Montrer que g est continue sur ] –, 0 [ et sur [ 0, + [. c) En remarquant que, si l’on pose u’ (x) = – f (x), on peut choisir u(x) = 1 – F(x), montrer grâce à une intégration par parties, que 0  x h( x ) dx puis donner sa valeur. En déduire que X 0  g ( x) dx est une intégrale convergente et que 0  g ( x) dx = 1. d) Établir que g peut être considérée comme la densité d’une variable

Université de Cergy-Pontoise Licence S3 PC 2008-2009 cours no 2 : Intégrales généralisées Rappelons que les inégrales de fonctions réelles ont été définies sur un segment pour des fonctions continues par morceaux. Il est possible de généraliser cette construction à un certain type de fonctions bornées, définies sur des segments (on parle d’intégrale de Riemann ou d’intégrabilité au snes de Riemann) dont les fonction monotones font parties. Dans ce cours, nous nous intéresserons à des fonctions

Calculs d’intégrales. Primitives Primitives Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F ′ = f. Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale Théorème fondamental • Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I. • Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x → F(x) + C où

424 Concours commun Agro INA ENSA Ière composition option générale 1/2 M ATHÉMATIQUES Durée : 3 heures PREM&RE COMPOSITION (Option générale) Concours commun INA-ENS! Le problème a pour objet I'étude de I'tquation différentielle (€1 xy' + y = - . 2 1 +x 1 Dans la partie 1, on étudie et on construit dans un repère orthonormé d'axes Or, Oy les courbes intCgrales de (El. Dans la partie II, on étudie une primitive de l'une des solutions de (€1. PARTIE 1 t t u d e des courbes