Intégration

raisonnement. Conclusion ℓ = 0. Exercice. En s’inspirant de cette démonstration, montrer que lim f (x) = 0. ∞ x→−∞ ∞ f (x)dx. D’où contraction car f ∈ K . ix 1 2) i(P f )(x) = ix f (x) = √ f (x)e−iαx dx = √ ix f (x)e−iαx dx. 2π −∞ 2π −∞ Une intégration par parties avec u = f et dv = ixe−itx dt, on obtient : ∞ ∞ ∞ 1 1 −itx ′ −itx i(P f )(x) = √ −e f (t) −∞ + f (t)e dt = √ f ′ (t)e−itx dt = (D f )(x). 2π 2π −∞ −∞ 4.5 Quelques propriétés de la transformation de F ourier Adoptons la notation f

1 n2 n t − [t] 1 dt = t(t + n) n n t − [t] dt t 0 A+n t − [t] dt − t A t − [t] dt t Puisque A+n 1 1 1 + + ln 1 − n 3n 0 A+n t − [t] dt − t Enfin par la relation de Chasles x2 (1+x3 )n+2 dx. b) Jn − Jn+1 = x× En procédant à une intégration par parties justifiée par deux√convergences : Jn+1 = 3n−1 3n Jn . c) On pose vn = 3 nJn . A t − [t] 1 dt = t(t + n) n t − [t] dt t 0 A 1 A A+n t − [t] dt A n A on obtient quand A → +∞ donc la série de terme général ln vn+1 − ln vn converge

déduire un équivalent simple de In lorsque In tend vers +∞. 10. Soit In = π 2 0 ∫ (cos x ) n dx , avec n appartenant à N. 1°) Montrer que la suite (In) est décroissante. En déduire qu'elle est convergente. 2°) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout n ≥ 2, on a : In = 3°) Après avoir calculé I0 et I1, en déduire I2p et I2p+1, p ∈ N. I 2 p + 2 I 2 p +1 4°) Montrer que pour tout p ∈ N, on a : ≤ ≤ 1. I 2p I 2p 2 n −1 In−2. n  2.4.6.K.2p  1

tan t dt = √ grâce au changement t = arctan x2 puis intégration d’une fraction 2 0 rationnelle. Remarque : Bien souvent, on effectue le changement de variable u = ψ(t) avec ψ bijective plutôt que t = ϕ(u). Il faut bien vérifier le caractère C 1 de la réciproque ψ −1 ce qui n’est pas automatique. Par contre le théorème de dérivation des fonctions réciproques assure que la condition est réalisée dès que ψ ∈ C 1 et ψ ne s’annule pas. 2.3 Intégration par parties Soient f, g : [a, b[→ K deux applications

car 4x − 8 reste strictement positif sur 4 ]2 ; +∞[. • Si f (x) = e−x = − −e−x alors une primitive de f est définie par F (x) = −e−x . 1 1 • Si f (x) = e4x+5 = 4e4x+5 alors une primitive de f est définie par F (x) = e4x+5 . 4 4 5. Intégration Soit f une fonction continue sur un intervalle I : b • Pour tous a et b de I, a b f (x) dx = [F (x)]a = F (b) − F (a) où F est une primitive de f sur I. x • Pour tout a de I, la fonction F définie par F (x) = x = a. e Exemple

situation la plus facile à identifier… Exercice 4 A l’aide d’une intégration par partie, calculer J1 = ∫ e 1 x ln(x) dx. © Tous droits réservés Studyrama 2008 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 1 Fiche Exercices Nº : 32005 MATHEMATIQUES Série S Appliquer deux fois la formule d’intégration par parties et obtenir une équation dont l’intégrale est l’inconnue Exercice 5 A l’aide de deux intégrations par parties, calculer J 2 = π 2 ∫ 0 e x sin(x) dx .

). Montrer que : ∀ A ∈ R2 , H f ◦ϕ (A) = t JH f (ϕ(A))J. [004150] Exercice 4151 Formule de Leibniz Soient f , g : R2 → R de classe C n . Calculer ∂ n ( f g) ∂ xk ∂ yn−k en fonction des dérivées de f et g. Correction [004151] Exercice 4152 Intégration de formes différentielles Déterminer les fonctions f : D ⊂ R2 → R vérifiant : 1. ∂f ∂x ∂f ∂y = = 2+x y 2+y x 198 1−y (x+y+1)2 2+x (x+y+1)2 2. ∂f ∂x ∂f ∂y = 3. ∂f ∂x ∂f ∂y = 4. ∂f ∂x ∂f ∂y = 2x + 1y = = y2 (x+y)2 x2 (x+y)2 = 2y

Fiches de révision : Intégration Soit a et b deux réels tels que a<b et f une fonction continue et positive sur l’intervalle [a ; b]. On appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal d’origine O. Puisque f est positif sur l’intervalle [a ; b], la courbe C est entièrement située au-dessus de l’axe des abscisses. On prend comme unité d’aire l’aire du rectangle de sommets le point O et les points de coordonnées (1 ;0), (1 ;1), (0 ;1). On appelle aire sous la courbe

Intégration TD2 Intégrale de Lebesgue : outils de calculs Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan. e-mail : ayman@crans.org On désigne par (X, A , µ) un espace mesuré. L 1 (µ) désigne l’ensemble des fonctions mesurables complexes f définies sur X vérifiant : |f |dµ < ∞ X 1 Théorème fondamental du calcul : Ce théorème regroupe deux résultats, connus depuis l’intégrale de Riemann (on omet volontairement les hypothèses pour l’instant) : x « F (x) := f (t)dt définit

cherchant les abscisses des points d’intersection des deux courbes. -2D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/ Intégration. Comment peut-on déterminer une primitive ? On nous donne une fonction F possible donc il suffit de la dériver et de comparer à f. On reconnaît une formule de référence du style u ' eu , u ' u n … (voir cours). On applique une intégration par parties. Comment peut-on calculer une intégrale ∫ b a f ? On détermine une primitive F de f : dans ce cas