Intégration

primitive (formelle) de est : La partie réelle de cette expression est : qui est donc une primitive de . La seconde technique de calcul à connaître est l'intégration par parties : Il faut penser à une intégration par parties quand l'un des facteurs de la fonction à intégrer a une dérivée plus simple, essentiellement un polynôme (dériver diminue le degré), (dérivée ), (dérivée ) ou (dérivée ). Encore faut-il connaître une primitive de l'autre facteur.

nouveaux pour les intégrales généralisées ; il suffira, x comme dans l'exemple précédent, d'effectuer ces opérations sur les intégrales ⌠ ⌡  f(t) dt      a avant de chercher la limite éventuelle de la fonction de x. Exemple Par récurrence et intégration par parties, on prouve que pour tout 3 n ‘ ˙ , l'intégrale +& tn e-t dt est convergente et vaut n! . ⌠ ⌡       0 Proposition 1 Si f et g ont des intégrales convergentes sur [a , b[ (ou ]a , b] , ]a , b[) , f + g et ¬f (¬ dans È ou Â) ont

différentielle y ′ − y = g ′ équivaut à (e−x y (x)) = e−x g ′ (x) donc x y (x) = Kex + ex 0 e−t g ′ (t) dt x I.2 les solutions de (S) sont de la forme f (x) = Kex + ex 0 e−t g′ (t) dt avec f (0) = g (0) d’où x x x K = g (0) . Une petite intégration par parties donne 0 e−t g′ (t) dt = [e−t g (t)]0 + 0 e−t g (t) dt = x e−x g (x) − g (0) + 0 e−t g (t) dt. Ainsi x x f (x) = g (x) + ex 0 e−t g (t) dt = g (x) + 0 ex−t g (t) dt Comme on a procédé par équivalence on a bien LA solution

. b. Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente. 2. On note D le domaine du plan délimité par la droite (d) et les courbes représentatives des fonction h et logarithme népérien sur l’intervalle [1 ; 4]. En utilisant un intégration par parties, calculer l’aire de D en unités d’aire. 1,5 y 1 0,5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 x -0,5 -1 -1,5 1 D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Antilles, Juin 2007 Sujets de Bac Terminale S

. . . . . . . . . . . . I.F Primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . I.G Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.H Calculs d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.I Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.J Calculs de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

déduire le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[. I= f (x) dx. α 1. Justifier que l’intégrale I est l’aire d’une partie du plan que l’on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). 2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale 4 J= 3. Montrer l’égalité : I = x ln x dx. α α2 α + + 16ln 2 − 8. 4 2 En déduire une valeur approchée de I à 10−1 près. 5 points E XERCICE 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe Exercice 1 - Avez-vous compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc 2 I= 1 7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3 Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit

fonction g prend des valeurs ≤ ε et ≥ 0. Ainsi avec la subdivision σ = {x1 , . . . , x p } nous obtenons : ε σ 0 ≤ Sg ≤ (b − a) = ε b−a Comme On en conclut que g est Riemann-intégrable sur [0, 1]. Correction de l’exercice 5 cf André Gramain, Intégration, p. 7, Hermann (1998). Correction de l’exercice 6 Pour tout n ∈ N, on définit fn :]0, 1] → R par : fn (x) = ne−nx . Pour tout x ∈]0, 1], on a limn→+∞ fn (x) = limn→+∞ ne−nx = 0. On en déduit que la suite de fonctions fn converge ponctuellement (ou

Plan 1 Intégrale des fonctions en escaliers Subdivision : Fonction en escalier Intégrale d'une fonction en escalier Fonctions Intégrables au sens de Riemann Propriétés de l'intégrale de Riemann Primitives Méthode de calcul des intégrales Intégration par partie Changement de variable Complément sur le calcul des primitives Mars 2012 2 3 4 5 Intégrale des fonctions en escaliers Fonctions Intégrables au sens de Riemann Propriétés de l'intégrale de Riemann Primitives Méthode de calcul des

MPSI/PCSI/ESC Intégration SUP/ESC 1. Méthodes d’intégration 1-1 : Intégrale immédiate 1-2 : Somme ou différence de fonctions 1-3 : Composée de fonction 1-4 : Décomposition en fractions rationnelles 1-5 : Par substitution (changement de variable) 1-6 : Réductions à des formes particulières 1-7 : Intégration par parties 1-8 : Décomposition en série 2. Intégration numérique 2-1 : Méthode des rectangles 2-2 : Méthode des trapèzes 2-3 : Méthode de Simpson 3. Diverses questions 3-1 : Introduction à