Intégration

Les débuts de l'intégrale définie Tout d’abord, c’est Augustin Louis Cauchy qui a découvert comment trouver l’aire de n’importe qu’elle courbe, soit par des sommes de rectangles. Par la suite, dans les années 1850, Bernhard Reimann a repris les sommes, les a amélioré, et leurs a donné son nom, d’où vient les Sommes de Reimann. Ensuite, Gaston Darboux traduit les travaux de Reimann, et amène des améliorations : les sommes inférieures et les sommes supérieures. Rrésumé de la technique de

TF06_transitoire_Laplace.xmcd TF06 - Transitoire - Exercice Régime transitoire - transformée de Laplace Un solide semi-infini subit sur la face (x=0) une élévation de température proportionnelle au temps (T = k t). La température initiale est 0°C. Déterminer le profil de température par la méthode de la transformée de Laplace. Quelle est la température à 10 cm à l’intérieur après un temps de 2 mn ? On donne : k = 0,5°C/s et α = 0,4 cm²/s. Pour faire ce calcul on rappelle que si on connaît l’original

Récapitulatif en maths I. Probabilité La somme de toutes les probabilités est égale 1. Union (OU) : Intervalle (ET) : Probabilité totale c’est-à-dire quand la probabilité de E se trouve dans plusieurs branches de l’arbre alors : Probabilité conditionnelle (sachant) : II. Suites 1. Suites arithmétique : r est la raison, c’est-à-dire qu’on ajoute ou toujours ce même nombre. C’est une variable fixe contrairement à Un qui varie.  Sinon, cette formule sert à calculer chaque terme (U1, U2

La Réunion, série S, 21 juin 2011 Exercice 1 - commun - 4 points 1. Le plan P et la droite D n’ont aucun point commun. 2. Les plans P et P ′ sont sécants suivant une droite de vecteur directeur −i + j + k. 3. L’ensemble des points M de l’espace qui sont équidistants des points A et B est le plan d’équation −4x + 2y + 5z − 52 = 0. −−→ −−→ 4. L’ensemble des points M de l’espace tels que M A − 3MB = 5 est une sphère dont le centre a pour coordonnées (−5; 5; 72). ➠ Pour voir les justifications (cliquer

2 0 2 e  b) Vrai :    1 4 1 sin 2tdt    cos2t    2 0 2 sin t  1 3 dt    2 1  1. 2 cos t  cos t  0   c) Vrai :  e 1 ln tdt   t ln t  t  1  1 .  3 0 d) Vrai : 1 0 e) Vrai : Intégration par parties, 1. 6. QCM 2  tetdt   (t  1)et   1 .   0 1 Fesic 2002, exercice 5. Répondre simplement par Vrai ou Faux à chaque question. On rappelle que 2 < e < 3. Soit f la fonction définie sur  par f ( x)  ( x  1)e2x . a

Remarques : Évidemment, si ¦ est négative sur [a, b] alors son intégrale est négative. Par contre, on ne peut rien dire, a priori, du signe de l'intégrale d'une fonction changeant de signe sur [a, b]. 3.2. Propriété Compatibilité avec l'ordre (intégration d'une inégalité) Si ¦ et g sont continues sur le segment [a, b] avec a  b alors : ¦  g sur [a, b] Þ ò b a ò ¦ (t ) dt  b g (t ) dt a Démonstration : Étudions d'abord le cas où ¦ et g sont positives (on a donc 0  ¦ 

l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = α et x = 4.  2   u(x) = x u (x) = x 2 2. Posons =⇒  v(x) = ln x  v (x) = 1 x Toutes ces fonctions sont continues car dérivables sur l’intervalle [α ; 4], on peut donc faire une intégration par parties : 0 − e−1 0 + +∞ +∞ 1 (car α = 0). α Baccalauréat S A. P. M. E. P. 4 x x2 x2 x2 x2 1 × dx = ln x − dx = ln x − = x 2 2 4 α α 2 α 2 α α α2 α2 α2 α2 ln α − − ln α. = 8ln 4 − 4 + 8ln 4 − 4 − 2 4 4 2 4 α2 α2 3. I = (x ln x −

voisinage de +∞. Finalement ∀x ∈]0, +∞[, la fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur ]0, +∞[. b. Soit x > 0. Soient ε et A deux réels tels que 0 < ε < A. Les deux fonctions t → tx et t → −e−t sont de classe C1 sur [ε, A]. On peut donc effectuer une intégration par parties qui fournit A tx e−t dt = −tx e−t ε A ε A +x ε tx−1 e−t dt = −Ax e−A + εx e−ε . Puisque x > 0, quand ε tend vers 0 et A tend vers +∞ on obtient +∞ +∞ Γ (x + 1) = 0 tx e−t dt = x 0 tx−1 e−t dt = xΓ (x)

intégrales: III - 1 - Utilisation des primitives : Exemples : 1 xdx 1) I = ∫ 0 1+ x 2 e 3) K = ∫ 0 1 0 x dx x +1 π dx x ln 2 (x ) e2 4) K = ∫ π 2) J = ∫ cos3 (x ) 5) L = ∫ 4 tan 2 (x )dx 0 III - 2 Intégration par parties : Théorème: Soit u et v deux fonctions dérivables à dérivées continues sur [ a, b] , alors : b ∫a u′( x)v( x)dx = [u ( x)v( x)]a − ∫ u ( x)v′( x)dx b b a Exemples: π 2 2) J = ∫ 3 1) I = ∫ x ln(x )dx 1

y 8 Intégrales Intégrales et calculs d’aires -1 Alors : 4 3 A 2 1 A = ⌠ b f(x) dx u.a. ⌡a x 0 1) LES RESULTATS b Intégrale de a à b de la fonction f = ⌡ b f(x) dx = [ F(x) ] a = ⌠a F(b) – F(a) où F est une primitive quelconque de f sur [ a ; b ] ; 0 1 2 3 4 5 6 7 (si le repère a comme unité 2 cm sur (Ox) et 3 cm sur (Oy) alors 1 u.a. = 6 cm².) 2) LES METHODES 1 1 ) dx et ⌡ 4 ( x – )dx ⌠1 x² x …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………