Isobarycentre

les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. Leurs parallèles respectives passant par D sont aussi perpendiculaires : le triangle DEF (lorsqu’il existe) est donc rectangle en D ; on en déduit que [EF] est un diamètre de C. Le → → point G, isobarycentre du triangle DEF, vérifie alors OG = 1 OD ; G est donc l’image du point D par l’homothétie h de centre O et de rapport 1 . 3 3 Le point D décrit le cercle C privé des points I, J, K et L ; l’énoncé sous-entend en effet que les points E et F sont

Démonstration : définition et théorème 15.2.2 On montre, en utilisant la relation de Chasles, que : −− −→ A1 G = 1 n i=1 n 161 λi −− −→ λi A1 Ai , i=2 ce qui permet d’obtenir à la fois l’existence et l’unicité. Définition 15.2.3 (Isobarycentre) On dit que G est l’isobarycentre A1 , A2 , . . . , An , lorsque G est le barycentre de (A1 , 1), (A2 , 1), . . . , (An , 1). des points Exercice 119 Montrer que quel que soit λ ∈ R∗ , le barycentre de (A1 , λ), (A2 , λ), . . . , (An

α β γ β γ = 0. Montrer que M, M , M sont alignés si et seulement si α [004884] α β γ Exercice 4885 Points dans l’espace Dans l’espace, les droites (AA ), (BB ), (CC ) sont concourantes en O, O ∈ (ABC) et A, B,C non alignés. Soient G, G les isobarycentres / des triangles ABC, A B C . CNS pour que O, G, G soient alignés ? Correction [004885] Exercice 4886 Polygone des milieux Soit P = A1 A2 . . . An un polygone à n sommets : on lui associe le polygone P = A1 A2 . . . An−1 An où Ai est le milieu

α β γ Montrer que M, M , M sont alignés si et seulement si α β γ = 0. [004884] α β γ Exercice 4885 Points dans l’espace Dans l’espace, les droites (AA ), (BB ), (CC ) sont concourantes en O, O ∈ / (ABC) et A, B,C non alignés. Soient G, G les isobarycentres des triangles ABC, A B C . CNS pour que O, G, G soient alignés ? Correction [004885] Exercice 4886 Polygone des milieux Soit P = A1 A2 . . . An un polygone à n sommets : on lui associe le polygone P = A1 A2 . . . An−1 An où Ai est le milieu

L’intersection de trois plans peut donner : • l’ensemble vide (sans qu’ils soient nécessairement parallèles) ; • un point ; • une droite ; • ces plans confondus. 111 13.5 Exercices Barycentres 13.1. Montrer sans calcul que le centre d’inertie (isobarycentre) d’un triangle est situé aux deux tiers des médianes. 13.2. Soit ABC un triangle. −→ 2 − − → 3− → 1. Montrer que le point M défini par AM = AB + AC est un barycentre de B et C. 5 5 2. Les points B, C et M sont-ils alignés ? 13.3. Soient A, B et

L’intersection de trois plans peut donner : • l’ensemble vide (sans qu’ils soient nécessairement parallèles) ; • un point ; • une droite ; • ces plans confondus. 95 11.5 Exercices Barycentres 11.1. Montrer sans calcul que le centre d’inertie (isobarycentre) d’un triangle est situé aux deux tiers des médianes. 11.2. Soit ABC un triangle. −→ 2 − − → 3− → 1. Montrer que le point M défini par AM = AB + AC est un barycentre de B et C. 5 5 2. Les points B, C et M sont-ils alignés ? 11.3. Soit ABC un triangle

que e e e β1 = α1 + · · · + αp = 0 et β2 = αp+1 + · · · + αn = 0 Si G1 est le barycentre de G est le barycentre de A1 . . . α1 . . . G1 G2 . β1 β2 Ap αp et si G2 est le barycentre de Ap+1 αp+1 ... ... An , alors αn Remarque 274. On appelle isobarycentre des points (A1 , . . . ,An ), le barycentre du syst`me pond´r´ e e e A1 . . . 1/n . . . D´finition 25.3 : Segment e On note [A,B] (segment AB) l’ensemble des barycentres : [A,B] = {Bar A t B (1 − t) ; t ∈ [0,1]} A B 1/2 1/2 An 1/n On d´finit

αp = 0 et β2 = αp+1 + · · · + αn = 0 A1 . . . α1 . . . G1 G2 . β1 β2 Si G1 est le barycentre de G est le barycentre de Ap αp et si G2 est le barycentre de Ap+1 αp+1 ... ... An , alors αn Remarque 274. On appelle isobarycentre des points (A1 , . . . ,An ), le barycentre du syst`me pond´r´ e e e A1 . . . 1/n . . . An 1/n D´finition 25.3 : Segment e On note [A,B] (segment AB) l’ensemble des barycentres : [A,B] = {Bar A t B (1 − t) ; t ∈ [0,1]}

αp = 0 et β2 = αp+1 + · · · + αn = 0 A1 . . . α1 . . . G1 G2 . β1 β2 Si G1 est le barycentre de G est le barycentre de Ap αp et si G2 est le barycentre de Ap+1 αp+1 ... ... An , alors αn Remarque 274. On appelle isobarycentre des points (A1 , . . . ,An ), le barycentre du syst`me pond´r´ e e e A1 . . . 1/n . . . An 1/n D´finition 25.3 : Segment e On note [A,B] (segment AB) l’ensemble des barycentres : [A,B] = {Bar A t B (1 − t) ; t ∈ [0,1]}

) ( ) 7 9 , médiane issue de A ; 2 2 (droite (AI)) : 3x −5y + 12 = 0. 3 7 J milieu de [AC] : J − ; , médiane issue de B (droite 2 2 (BJ)) : x + 5y − 16 = 0. K milieu de [AB] : K(1 ; 1), médiane issue de C (droite (CK)) : x = 1. Isobarycentre du triangle : les coordonnées sont 3x − 5y + 12 = 0 solution du système . x =1 On obtient G (1 ; 3). 3. I milieu de [BC] : I { ( c ) cc( ) c 1 7 1 7 c c et ΩG ainsi, ΩH = 3ΩG. ; ; 2 2 6 6 Les vecteurs ΩH et ΩG sont