K-moyennes

ln x, d´efinie sur R∗+ . (a) D´eterminer une solution de l’´equation homog`ene associ´ee de la forme x → xα , α ∈ R. (b) Chercher une autre solution de l’´equation homog`ene associ´ee de la forme y(x) = K(x)xα en donnant ` a α la valeur trouv´ee ` a la question pr´ec´edente. On montrera que K ′ v´erifie une ´equation diff´erentielle du premier ordre. (c) En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation homog`ene associ´ee. (d) V´erifier que la fonction y0 d´efinie par y0 (x) = −1 − ln x est

processus de production • caractéristique de la qualité du « produit » • échantillons indépendants • statistique « W » estimée sur l’échantillon, indicateur de qualité – Si le processus est sous contrôle, alors • W suit une loi de probabilité de moyenne et écart-type connus ou estimés. • Définition de la CC de Shewhart UCL = µW + kσ w  CL = µW  LCL = µ + kσ W w  2009 3 J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université Forme Générale Données Qualitatives Données Quantitatives p chart

Posons le problème sur l'exemple concret (mais artificiel) suivant : On observe les dépenses annuelles en vêtements de n = 7 individus, qui habitent des grandes villes, des communes moyennes, ou des communes rurales : Trois observations "grandes villes" : 128, 142, 98 Deux observations "communes moyennes " : 101, 85 Deux observations "communes rurales" : 67, 86 Ces observations permettent-elles de conclure à l'existence d'un effet "catégorie d'agglomération" sur le montant des dépenses

sondage qui seront étudiés sont les suivants: - la moyenne d’admission; - la moyenne de la 1ère année; - la taille; - le poids. On demande: a) Préciser la manière de constitution de l’échantillon et le procédé de tirage utilisé; b) Comparer les estimations de la moyenne et de l’écart type avec leurs paramètres correspondants calculés auparavant; calculer les erreurs relatives; c) Estimer les paramètres des moyennes des variables observées par les intervalles de

Paramètres de position et de dispersion I) Mesures de position 1) La moyenne a) Définition Soit la série statistique définie dans le tableau suivant : Valeur Effectif x1 n1 x2 n2 Effectif total : N =   ..... ..... xp np   ⎯ La moyenne de cette série statistique est le réel, noté x, tel que :   =     Exemple 1: Soit la série statistique répertoriant la taille en mètres de 100 requins blancs taille ( en m ) Effectif 1,5 2 2,5 3 3

le problème de la gestion de portefeuille. Il s’agit de maximiser un gain ou une utilité du gain et ceci avec une contrainte sur la valeur minimale du portefeuille final. Ainsi, il s’agit de mettre en place une assurance nous garantissant un gain final K. Les stratégies présentées ici sont les stratégies Buy and Hold, CPPI (Constant Proportion Portfolio Insurance) et OBPI (Option Based Portfolio Insurance). Voici les notations utilisées dans le texte, elles seront néanmoins souvent rappelées pour permettre

Méthodologie • Calculez sur plusieurs années, la moyenne des valeurs obtenues pour chaque période. Pour la SECAD, il s'agit de calculer le chiffre d'affaires moyen sur 3 ans cour chaque mois. ANNEE |janvier |février |mars |avril |mai |juin |juillet |août |septembre |octobre |novembre |décembre | |moyennes mensuelles |413,33 |360 |520 |560 |560 |460 |480 |380 |600 |680 |460 |620 | | • Calculez la moyenne des moyennes mensuelles précédentes : (Moy. Janv. (413,33)

effectifs correspondants. Modalités x1 x2 y1 y2 yj yp n 1p n 2p n 11 n 21 n 12 n 22 n 1j n 2j xi n i1 n i2 n ij n ip xk n k1 n k2 n Kj n kp La variable X possède k modalités inscrites dans la marge de gauche du tableau. La variable Y possède k modalités inscrites dans la marge du haut du tableau. Le tableau complet s'appelle la distribution conjointe du couple (X ; Y). Les effectifs de chaque case sont les effectifs conjoints. n ij Est l'effectif conjoint

CA annuel (en K€) [100 – 200 [ [200 – 300 [ [300 - 500 [ [500 – 600 [ Le mode est : [200 – 300[ Nombre de revendeurs 60 80 110 50 60 80 55 50 Effectifs corrigés Définition : le mode est la valeur de la variable correspondant à l’effectif le plus élevé. 2.2 – La médiane. Monsieur Mario veut connaitre le chiffre d’affaires pour lequel il a autant de clients au dessous qu’au dessus de ce chiffre. Il vous demande donc de déterminer la médiane. CA annuel (en K€) [100 – 200 [ [200

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . 7 . 8 . 9 . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Tests t de moyennes 2.1 Le test t à un échantillon . . . . . . . . . 2.1.1 Rappel sur le test t . . . . . . . . . 2.1.2 La taille d'eet . . . . . . . . . . . 2.1.3 La puissance . . . . . . . . . . . . 2.1.4 La taille d'échantillon . . . . . . . 2.2 Le test t à deux