Lemme

raisonner par r´ecurrence sur r en utilisant le fait que le centre d’un p-groupe n’est pas trivial. Indication 6 On a D6 = Z/6Z ×|Z/2Z (Z/2Z × Z/3Z) ×|Z/2Z Z/2Z × (Z/3Z ×|Z/2Z) Z/2Z × S3 Le premier isomorphisme est une application standard du lemme chinois. Pour le deuxi`eme, noter que le premier Z/2Z est dans le centre du groupe et donc que l’action sur lui par conjugaison du second Z/2Z est triviale. L’isomorphisme Z/3Z ×|Z/2Z S3 est classique. Indication 8 Pour tout g ∈ G, gSg −1 est un p-Sylow

point critique dans le sens trigonométrique un nombre de fois égal au nombre des pôles instables de la fonction de transfert en boucle ouverte. C'est une conséquence à peu près immédiate du théorème des résidus. Démonstration du critère a) Lemme fondamental • Soit F(p) une fonction de la variable complexe p : c'est un nombre complexe dont le module et l'argument sont fonction de p. Si le point d'affixe p décrit une courbe fermée (C) dans le plan complexe, le point d'affixe F(p) décrit

part quelle est associative. 2)- La loi de composition interne dans Σ* est bien entendu la concaténation et l’addition est la loi de composition interne dans N. 3)- pour la relation d’ordre vérifier: la réflexivité, Antisymétrie et la transitivité Lemme de Lévi: Soit Σ un alphabet et soient a, b, c et d quatre mots quelconques de Σ* tel que ab=cd. Il existe trois cas exprimant la relation entre a,b,c et d: 1) Si |a| < |c| Alors c=af et b=fd 2) Si |a| = |c| Alors a=c et b = d 3) Si |a| > |c| Alors

. . . . . . . . . . . . . 96 D Les fonctions copules 99 D.1 Definitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 D.2 Les copules archim´diennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 e E D´monstration du Lemme 3.1 e 105 CHAPITRE 1 Introduction Ces notes constituent le support d’un cours de DEA concernant la mod´lisation e du risque de cr´dit. Les deux principales sources qui ont servi de base ` l’´criture de e a e ce texte sont [11] et [2].

= D(k) + E (k) avec E (k) −→ 0 lorsque k −→ +∞, donc les suites (A(k) )k et (D(k) )k sont de mˆme nature, et si e elles convergent, elles ont la mˆme limite. Afin d’´tudier leur e e convergence, montrons le r´sultat g´n´ral suivant. e e e 25 Lemme 14 Soient X un espace vectoriel norm´ de dimension finie et (xk )k≥0 e une suite born´e dans X telle que e 1) (xk )k≥0 admet un nombre fini de valeurs d’adh´rence. e 2) k−→+∞ lim xk+1 − xk = 0. alors (xk )k≥0 est convergente (vers l’une de

Proposition 3. Dans un compact, toute suite a au moins une valeur d’adh´rence. De plus, e si cette valeur d’adh´rence est unique alors la suite converge. e La preuve de la premi`re partie de la proposition repose sur le lemme suivant que nous laissons e au lecteur en guise d’exercice. Lemme. Soit (X, O) un espace topologique compact et (Fn )n∈N une suite d´croissante (au sens e de l’inclusion) de ferm´s non vides de X. Alors n∈N Fn n’est pas vide. e Revenons ` la preuve de la proposition. Soit X un compact

markoviens . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Processus en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Le mouvement brownien ou processus de Wiener . . . . . 3.4 Le processus de prix de l’action . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Le lemme d’ˆ [1951] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ito 3.5.1 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Application ` un processus de prix . . . . . . . . . . . . a 3.5.3 D’autres exemples... . . . . . . . . . . . .

Condition pour qu’une fonction soit intégrable . . . . 3.3.3 Propriétés de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Théorème de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Déf. d’une primitive sur un intervalle . . . . . . . . . . 3.3.6 Lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . . 3.3.8 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.9 Propriété de l’intégrale d’une fonction positive . . . . 3.3.10

xi . La derni`re u e sommation apparaˆ comme une somme de Riemann de la fonction x → ln |z − x|. ıt On va donc comparer cette sommation ` l’int´grale correspondante. a e 33 II – Approximation polynomiale des fonctions num´riques e Lemme 1 – Pour tout a ∈ C, on pose φ(a) = 1 0 ln |1 − at| dt. Alors l’int´grale converge et la fonction φ est continue sur C. De plus : e xj+1 1 h (i) xj 1 h (ii) ln |z − x|dx − ln |z − xj | = φ xj+1 h , 0≤j ≤i−1 ; z

( t j−1 )) 2 j=1 (i) E( Z n ( t )) = t (ii) Var ( Z n ( t )) → 0 2n (i) E Z n ( t ) = ∑ ( t j − t j−1 ) = t j=1 2n (ii) Var Z n ( t ) = ∑ var( ( w ( t j ) − w ( t j−1 )) 2 ) j=1 UCL Devolder 61 3. Le mouvement brownien Lemme : si X = N (0, σ 2 ) alors : var X 2 = 2σ 4 Preuve : Var X 2 = E X 4 − ( EX 2 ) 2 = EX 4 − σ 4 Par fonction génératrice : +∞ M X ( u ) = ∫ e ux dF( x ) = Φ X (iu ) = e u σ 2 2 /2 −∞ ∂n EX = n M x ( u ) ∂u n UCL Devolder