Lemme

. b. Valeurs propres Définition : Soit , est dite valeur propre de si \ Définition : {Valeur propre de } s’appelle le spectre de f et il est notée c. Vecteurs propres – sous espaces propres Définition : , est dit vecteur propre de f si , \ Lemme : Dans ces conditions, le est unique. Définition : On dit alors que est la valeur propres associé au vecteur propre Définition : Soit et une VP. On appelle sous espace propres de f associé à le SEV Proposition : est un sous espace vectoriel

é 3 N ù ê 4 ú +1 û ë définissent toujours des valeurs convenables pour le premier quartile, la médiane et le troisième quartile. Pour démontrer ce théorème, on aura besoin du petit lemme suivant : Lemme Soient A et B des éléments de  avec A  B. L'ensemble A ; B contient B - A + 1 entiers. Preuve du lemme : L'ensemble A ; B contient autant d'entiers que l'ensemble A - A + 1 ; B - A + 1 = 1 ; B - A + 1 qui lui même en contient B - A + 1. Démonstration du théorème 1 : Pour tout réel l

un chemin à partir de s, alors après initialisation, on a d(v)=(s,v)=+ infini, de plus cette valeur reste inchangée pour n’importe quelle suite d’itérations de la procédure RALEX. Preuve : utilise la propriété de la borne inf Propriétés Lemme 3 : Propriété de convergence Si s u v Est un chemin de coût minimum entre s et v. On suppose effectuer l’étape d’initialisation de d et un certain nombre d’itérations contenant la procédure RELAX est réalisé. A la prochaine itération

n’entraˆ pas que x ` ıne appartient a E1 ou a E2 . ` ` Proposition 1.3 Soit E un R-espace vectoriel et E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de E. Alors E1 +E2 est le plus petit sous-espace vectoriel contenant E1 ∪ E 2 : E1 + E2 = V ect(E1 ∪ E2 ) . Lemme 1.1 Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie et E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de E non r´duits a {0E }. Si B1 est une base de e ` E1 et B2 une base de E2 , alors l’union B1 ∪ B2 est une famille g´n´ratrice e e de E1 + E2 . Attention

bla. Numérotation des théorèmes. Voici les options de numérotation : \theoremstyle{plain} \newtheorem{theoreme}{Théorème}[section] \newtheorem{corollaire}[theoreme]{ Corollaire} \newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme} \newtheorem*{axiome}{Axiome} Axiome. Bla bla bla bla bla bla bla bla bla. Lemme 1.1. Bla bla bla bla bla bla bla bla bla. Théorème 1.2. Bla bla bla bla bla bla bla bla bla. Corollaire 1.3. Bla bla bla bla bla bla bla bla bla. Démonstrations Pour les démonstrations, utiliser

entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les sommes partielles d’une série entière sont des polynômes. 3. La série entière an z n converge au moins pour z = 0 ; sa somme est alors a0 . an z n . On appelle 1.2 Lemme d’Abel Lemme d’Abel — Théorème 1.1 Soit n n an z une série entière et z0 un complexe non nul tel que la suite (an z0 ) soit bornée. n z 1. Pour tout complexe z : an z n = O . z0 2. Pour tout complexe z tel que |z| < |z0 |, la série numérique an z

CantatJME3.rep140 Le journal de maths des élèves, Volume 1 (1995), No. 3 Théorème de Poincaré-Bendixson Serge Cantat Introduction. On présente ici une démonstration du théorème de Poincaré-Bendixson et quelques questions qui lui sont liées. Ce théorème s’inscrit dans le cadre de la théorie qualitative des équations différentielles, il n’est donc pas surprenant d’y voir attaché le nom d’Henri Poin- caré. Son énoncé donne l’existence de solutions pério- diques pour des équations

: l’ensemble des nombres complexes 13    14 Les objets géométriques Objets, assertions, relations VRAI FAUX 15 ETABLIR GRÂCE À UN JEU D’AXIOMES QU’UNE ASSERTION EST VRAIE C’est prouver un théorème …  ou prouver un lemme …  ou prouver un corollaire …  16 QUELQUES OPÉRATIONS ENTRE ASSERTIONS LA DISJONCTION : R OU S V R S R ou S 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 18 LA CONJONCTION : R ET S R 0 0 S 0 1 R et S 0 0 1 1 0 1 0

nulle. Il suit que lim inf Xn = lim sup Xn presque sˆrement, et donc que e u limn→∞ Xn =: X existe presque sˆrement. Le lemme de Fatou nous assure que E(X + ) u + lim inf E(Xn ) < ∞, et donc X < ∞ presque sˆrement. Enfin, pour montrer que X > −∞ u presque sˆrement, on d´compose u e − + E(Xn ) = E(Xn ) − E(Xn ) + E(Xn ) − E(X0 ) , (6.2.9) et on applique ` nouveau le lemme de Fatou pour montrer que E(X − ) < ∞. a 42 ´ ` CHAPITRE 6. THEOREMES DE CONVERGENCE Corollaire 6.2.3. Soit Xn

pas comparables. Exercice 1.5. e Soit a ≤ b des r´els et fn : [a, b] → R une suite de fonctions continues. On suppose e que pour tout x de [a, b], la suite fn (x) tend vers 0 en d´croissant. Montrer que la suite e fn converge uniform´ment vers 0 (lemme de Dini3 ). Montrer que si gn est une suite de fonctions continues positives sur [a, b] qui tend simplement en croissant vers une fonction b b continue g, alors a gn (t)dt → a g(t)dt. Corrig´. Il s’agit d’un exercice classique d’analyse. Raisonnons