Lemme

ont une limite x ∈ X. n=1 29 2 + 2 = Th´or`me 2.1.2 : Montrons que (R, euclidienne) est complet. e e Preuve. Il suffit de montrer que si une suite est de Cauchy dans R, alors elle est convergente dans R. La preuve de ceci requiert deux lemmes. – Lemme 2.1.1 Dans (R, euclidienne), toute suite born´e poss`de une sous-suite e e convergente. Preuve. Soit {xn }∞ , une suite born´e d’´l´ments de R. Si le champs des ´l´e ee ee n=1 ments de la suite est fini, alors un de ces termes, disons xi apparaˆ une

générateur n’est pas cryptographiquement sûr, à cause de l’algorithme de Berlekamp-Massey, qui calcule (en temps quadratique) la complexité linéaire et un polynôme engendrant une suite finie. Le lemme suivant montre qu’il suffit de connaitre 2L bits consécutifs de la suite pour la retrouver entièrement. Lemme 1 Soit s une suite récurrente de longueur maximale, de complexité linéaire L . Si on connait 2L termes consécutifs de cette suite, alors on peut calculer les coefficients de récurrence en inversant

i[ _- , - ?age2: E!"à?té0,"^"7t1^t,?:: Lesbons ?lana àe IANEOF , ?n" ? laEeo cou? àe ' coeur: ta35o oou? ae , nou- dl Le sa$4 àes lemmes i"$^, Àt tl," vete orsanisarion au uyur" d ")lunJot*:,'fi;:à::";1:^";;:i"Z':"i:;;i:;:::;:: f," Y,age 4: lemmee esl en parliculier àe ?enrtefrre la créaVion à'une s+tuclure univeroilaire pour :pt uàianï bieri àa nos éf,uàee.?lusieura possibilitlés à'intéqration univeraitaire geront, ainei accessib\es à ffiévention t.ou5. Cet amenàemenl esT inàispensable à l'avenir

mosveret higinlemen asta ut abd a eur 6 Leber slon on sens prem, est done consis comme els qi sib des consis ‘eigieases et plosophiques (Le but est epovogur; es bers ‘vest an fie seadae. [spines du mouvement: fier a ber de pense, es ies portage! lemme scepicame det es cosas es pean ee $uersttons sje fol ave dans es pices lip ea ‘uriason Aeon de Egle, ‘Recherche spas beri son a recherche dy plaisir sesuel et de ‘lupe s dence yporse soctle- ts mane al erp de "evo cone sinters es abou mposs pra morale

du même coup l'impossibilité de la quadrature du cercle. Notations 1 Pour tout entier n strictement positif, on considère la fonction pn dé nie par pn (x) = n! Z + =2 et on s'intéresse à l'intégrale In = pn (x) cos x dx: =2 2 n 4 x2 Lemme Pour tout nombre réel K > 0; Kn = 0: n!+1 n! lim En effet, si on pose un = La suite (un )n K Kn K pour tout entier n 0; alors (8n K) 0 < un+1 = u n < un . n! n+1 est décroissante et minorée par 0. Elle converge donc vers une limite réelle

moment, lorsque I = [a, b], o` (a, b) ∈ R avec a < b, u a 2 b f et [a,b] f d´signent l’int´grale de Riemann de f sur [a, b], telle qu’elle a ´t´ d´finie en premi`re e e ee e e ann´e. e On note C(I) l’ensemble des segments inclus dans I. Lemme. Il existe une suite croissante (Jn )n∈N de segments inclus dans I dont la r´union est ´gale a I. Une telle suite est dˆ adapt´e a I. e e ` ıte e ` Informellement, Jn −→ I. n→+∞ D´monstration. e Premier cas. On suppose que I est born´. Notons a

. . . . 7.1.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Tests d’hypothèse simple contre hypothèse simple 7.1.3 Tests asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Approche de Neyman-Pearson . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Lemme de Neyman-Pearson . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Rapports de vraisemblance monotones . . . . . . 7.3 Tests du score et de Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Test du score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Tests asymptotiques . .

fonctions alors lim inf fn dJl ::; lim inf fnd.u lx n-++oo n-++oolx .~~-~ mesurables positives. On a r r ..~ __ '~~:~.,..~~"" ;;,---- --:":;:""'=d:':'iilii';Jâ.,-~"";.··_,,,--.~~ "4.1.3-- Thé~rê~e-convergenceominée de Lebesgue d Lemme 4.3 Soit 9 : (X, A, J.L) -t fonctions intégrables de (X, ~ une fonction intégrable et (fn)nEN une suite de A,.u) -t ~ non nécessairement positives. 1 Si 9 ~-f~ - pou~ tout nE N alors"" . - n 'lx r ;im i~~i« d~ S lim

d’it´rations. e Commen¸ons par un scenario particulier, le calcul du pgcd de deux nombres de Fibonacci c cons´cutifs. e D´finition 2. (suite de fibonacci) La suite (Fn )n∈N d´finie par F0 = 0, F1 = 1 et e e nn+2 = Fn+1 + Fn est appel´e suite de Fibonacci. e Lemme 1. Le calcul de pgcd(Fn+2 , Fn+1 ) par l’algorithme d’Euclide effectue n divisions euclidiennes. D´monstration. Pour n = 0, F2 = F1 = 1, l’algorithme d’Euclide effectue 0 division eue clidienne. Pour n = 1, F3 = 2, F2 = 1, l’algorithme effectue une division

logique mathématique | Vocabulaire : Proposition : phrase qui représente une affirmation, un événement, une propriété. Axiome : proposition évidente par elle même et qui n'est pas démontrable. Théorème : proposition qui peut être démontrée. Lemme : proposition auxiliaire pour faciliter la démonstration d'une autre proposition. Conjecturer : fonder son opinion sur des apparences, avoir une idée de la propriété sans l'avoir démontré. Incompatibles : deux propositions sont incompatibles si elles