Lemme

I. Définition de la fonction exponentielle Soit (E) l'équation différentielle f'(x) = f(x) avec f(0) = 1. On admet qu'il existe une fonction solution de cette equation. Lemme Si f est une fonction solution de (E), alors pour tout x, f(x) \neq 0. Propriété et définition : Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelé fonction exponentielle et est notée \exp. Démonstration : Soit f une fonction solution de (E) et on pose g(x) = f(x)f(- x) g est défini sur \mathbb{R}

obtient 1 = ln n + γ + o(1) k k=1 sin(2nt) dt = t +∞ 0 sin t π dt = t 2 d) On a puis π/2 π/2 ln(2 sin(t/2)) cos(nt) dt = 0 ln 0 sin(t/2) t/2 π/2 cos(nt) dt + ln(t) cos(nt) dt 0 Par intégration par parties, Exercice 3 : [énoncé] a) 0, cf. lemme de Lebesgue. b) Posons π/2 ln(t) cos(nt) dt = π/2 In = 0 0 sin(2nt) cos t dt sin t Cette intégrale existe car un prolongement par continuité est possible en 0. On observe sin(2(n + 1)t) − sin(2nt) = 2 sin t cos(2n + 1)t et donc 1 ln(π/2) sin(nπ/2)

évaluation : l'utilisateur écrit ses requêtes dans un chier qui l'indique au moteur tout en précisant le chier destination qui contiendra les réponses. 3. L'étiqueteur doit pour chaque requête extraire les termes en indiquant pour chacun son lemme et son type. 4. A partir de ces termes nous précisons les patrons qui existent dans la requête. 5. Les patrons sont ensuite passés à l'indexeur qui fait le parcours des documents et retourne ceux qui contiennent ces patrons. 6. Le résultat est stocké

Statistique et Apprentissage TD 4-5 Notions abordées ◮ Test d’hypothèses ◮ Vocabulaire associé : types de tests, statistique de test, risques ◮ Tests asymptotiques ◮ Tests d’ajustementSommaire du TD Ex 1 - Tests définis par leurs régions critiques Ex 2 - Test sur l’écart-type d’une loi normale Ex 3 - Test asymptotique bilatéral Ex 4 - Test d’hypothèses composites Ex 6 - Test non-paramétrique d’ajustementExercice 1 : Tests définis par leurs régions critiques Enoncé : données de l’exercice Soit X

application (xi ) −→ xi ei 3 - Bases (finies) : définition, caractérisation des bases, coordonnées sur une base, application (xi ) −→ xi ei . B) Espaces de dimension finie 1 - Définition, théorème de la base incomplète, existence de bases. 2 - Dimension : lemme fondamental, théorème de la dimension, caractérisation des bases en dimension finie. 3 - Base et dimension de E × F . 4 - Sous espaces : dimensions des sous espaces d’un espace de dimension finie, rang d’une famille de vecteurs, existence de supplémentaires

(a)=(b)=(c)+(d) Exemple 3.8 Un dipôle est constitué par la mise en parallèle de N sources de tension Ek en série avec des résistances Rk (Fig. 3.27). On écrit le lemme de Kirchhoff sur les tensions pour chacune des N mailles comprenant chacune une source et passant par l'accès 11' : U 0 − Ek − Rk I k = 0 pour k = 1...N Et le lemme de Kirchhoff sur les courants au nœud supérieur : U 0 − Ek =0 Rk k =1 N N ∑ Ik = ∑ k =1 On en déduit la tension à vide : N E = U0 = ∑E

Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout ensemble peut être muni d’une structure de bon ordre. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 3 A.2 Ensembles finis, monoïdes Notions

l’on considère comme une équation vectorielle (Ef ) : Soit (P) le problème de Cauchy associé à : 8 < (E ) x0 = f (t, x) , f : ⌦ ⇢ R ⇥ Rn continue f : C.I. (t0 , x0 ) 2 ⌦ Ce problème admet une formulation intégrale (englobant la C.I.) équivalente (lemme 3.2.1) : 8 < ' : I ! Rn solution de (P) ⇤ : où (P) associé à (Ef ) et à la C.I. () 8 t 2 I, '(t) = x0 + Z t f ⌧, '(⌧ ) d⌧ t0 La fonction inconnue apparaît donc comme un point fixe de l’application ' 7! H('), avec Z t H(')(t) = x0 + f ⌧, '(⌧ )

repasse presque sˆrement e e ıne u en x une infinit´ de fois. e Si x est transient, on obtient que la probabilit´ que la chaˆ repasse une infinit´ en x est nulle. e ıne e Preuve du point 2. • Supposons que np (n) (x, x) < ∞. Le lemme de Borel Cantelli (partie « triviale ») implique que   Px  {Xn = x} = 0. N n≥N 7 L’´v´nement pr´c´dent est l’ensemble : e e e e {ω ∈ Ω; il existe une sous-suite infinie nk (ω) telle que Xnk (ω) = x}, ou, autrement dit, c’est l’ensemble

1 mod 2 alors N est impair. b) En remarquant que N = M + 2, déterminer le PGCD de M et N. d = PGCD (M, N). d divise M et N donc d divise N – M donc d divise 2 donc d = 1 ou d = 2 N est impair donc d 2 donc d = 1. On peut aussi utiliser le lemme d'Euclide. PGCD(M, N) = PGCD(N, 2). 2° On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2 p + l, avec p entier naturel. a) Montrer que M et N sont des entiers pairs. si n = 2 p + 1 alors M 9 (2 p + 1) + 1 = 2 9 p + 9 + 1 = 2 (9 p + 5) alors