Lemme

et on a une solution unique. Université Aix-Marseille 1 PEIP-L1, 27 avril 2010 , 17 Algèbre linéaire, Maths générales II 1.3. Méthode du pivot de Gauss Théorie générale pour les systèmes 2 × 2 1. Algèbre linéaire dans R2 et R3 Lemme 1.9 Soient a, b, c, d, α, β des réels. On suppose a = 0. Alors le système ax+ by cx+ dy est équivalent au système ax+ by (d − bc a )y =α =β =α c = β − aα Démonstration : Soit (x, y) ∈ R2 . Si (x, y) est solution du premier système, alors dans

quels sont leurs diviseurs communs? Ceci peut servir, par exemple, ` trouver les racines communs aux deux ´quations A(x) = 0 et B(x) = 0, a e ou ` simplifier la fraction rationnelle A/B. a Pour r´soudre ce probl`me on utilise ` r´petition le lemme suivant: e e a e Lemme: Les diviseurs communs ` deux polynˆmes A et B sont les mˆmes a o e que les diviseurs communs ` B et R o` R est le reste de la division de A par a u B. D´monstration : e Soit A = BQ + R avec degR < degB. Soit C un diviseur commun ` A et

proposition 1.3.2, ri(C) est convexe. Proposition 1.3.5. Si C est un convexe non vide de E, alors ri(C) est non vide. Démonstration. On se place sur l'enveloppe ane de C. Dans ce sous-espace, C = ri(C) et la proposition précédente implique ri(C) = ∅ o Lemme 1.3.1. Soit C un ensemble convexe non vide et x0 ∈ ri(C). Alors : ∀x ∈ A, [x0 ; x[⊂ ri(C) ; où [x0 ; x[= {αx + (1 − α)x0 , α ∈ [0; 1[}. Démonstration. Soient x0 ∈ ri(C), x ∈ C et α ∈ [0; 1[. x ∈ C ⇒ ∀ε > 0, x ∈ (C + B(0; ε). 1+α Posons λ = 1−α et

joie (1) ou Quelle joie! 1 Avait-il réussi? (2) Avait-il réussi? 2 Il était plus que prudent… (1) C'est ce que l'auteur affirme! (1) Pourtant, il… C'est ce que l'auteur affirme! 1 Pourtant, il… Le cas des guillemets. Pour plus de détails, voir le lemme GUILLEMETS ci-dessus. Rappelons le principe: l'appel de note suit le guillemet fermant et est lui-même suivi d'une ponctuation (sauf dans le cas des points d'exclamation, d'interrogation et de suspension). Ex.: Il dit: «C'est certain» (1). Il dit:

par changement de variable s = cu + b : 2 u +1 v par intégration par partie et la fonction arctangente : y In = x β (s − b)2 + c2 y−b c n ds = x−b c w 1. I1 = Arctg(u) v 2n − 3 u 2. si n > 1 on a In = In−1 + 2n − 2 (2n − 2)(u2 + 1 3.3.2 Lemme. y 2. x v y ds 1 1 1 1 1 1 |(s − 1)(s + 1)| = (− + + ) ds = Log 3 s 2s+1 2s−1 2 s2 x s −s x y y s+2 2 2+s 1 2 1 s2 ds = ( 2− 2 + ) ds = − + Log 2 − 2 Arctg(s) 4 2 s +s s +1 s s 2 s +1 x x s 3.3.3 Exemples. y w y 1. x β 2 2 c u + c2 n cdu

continue sur W 1,∞ (Rd , Rd ). Dans la suite on donnera deux lemmes qui vont nous aider `a calculer la d´eriv´ee de forme du probl`eme (2.7). 15 Lemme 2.3.2 Soit Ω un ouvert born´e r´egulier et f∈ W1,1 (Rd ). on pose J(Ω) = Ω f(x)dx. Alors J est diff´erentiable en Ω et J’(Ω)(θ) = Ω div(θ(x)f (x))dx = ∂Ω θ(x).n(x)f (x)ds ∀ θ ∈ W 1,∞ (Rd , Rd ). Lemme 2.3.3 Soit Ω un ouvert born´e r´egulier et f∈ W1,1 (Rd ). on pose J(Ω) = ∂Ω f(x)dx. Alors J est diff´erentiable en Ω et J’(Ω)(θ = ∂Ω θ(x).n(x)

solution primale admissible, p une solution duale admissible et c x = b p, alors x est une solution (primale) optimale (et p une solution duale optimale). Dualité forte En utilisant les propriétés des ensembles convexes, on peut montrer le lemme suivant Lemme 2.5.1 (Farkas). Soit A ∈ Rm×n et b ∈ Rm , alors une et une seule des propositions suivantes est vraie : i) il existe un x ∈ Rn , x ≥ 0 tel que Ax = b, ii) il existe un y ∈ Rm tel que A y ≥ 0 et b y < 0. A l’aide de ce résultat, on peut montrer

Cauchy. Nous allons maintenant nous employer à démontrer la réciproque de la proposition 22.40. Nous aurons besoin du lemme suivant. Lemme 22.42. Toute suite de Cauchy est bornée. 609 Théorème 22.43. Toute suite réelle de Cauchy est convergente. Preuve. Soit (un)n∈N une suite réelle de Cauchy. Pour n ∈ N, notons En = {uk | k ≥ n}. L’ensemble En est non vide et en vertu du lemme 22.42, il est borné. Il existe donc an = inf En et bn = sup En. Nous allons vérifier que les suites (an)n∈N et (bn)n∈N

‘xem, kn malice promsbrescoescmées area Properionseliemoat hla fbicaom et Ta ene des ‘Onspplle charges Res» es charges dont emoatant fot independant de Tactvié de Terese, dan one Strctre donne Pa exemple yer de Fai oe ‘Cot des machines rest lemme tant om agra fs es beaux ov que on wate ps Je achines rowel “Teni compe de ete varabité ds charges ex nse ir pou expquer elution cool eniare des trea produ a {52 Demarche de cole de dt de revent de

importante. Un lemme est une proposition vraie, utile à la démonstration d’une proposition plus importante. Un corollaire est une proposition vraie, conséquence immédiate d’une autre proposition vraie. Une conjecture est une proposition qu’on pense généralement vraie, sans en avoir de preuve. Exemples : – « l’axiome de récurrence » dans N, « l’axiome de la borne supérieure » dans R. – « le théorème de Pythagore », le « théorème de Rolle », « le théorème de Bolzano-Weierstrass ». – le « lemme des bergers