Lemme

eectue les divisions euclidiennes successives décrites précédemment jusqu'à obtenir un reste nul, le pgcd de a et b est le dernier reste non nul. c) Le lemme de Gauss Parmi les corollaires les plus importants du théorème de Bézout gure le résultat suivant connu sous le nom du lemme de Gauss (Carl Friedrich Gaus, 1777-1855). Théorème 3.9 (Lemme de Gauss) Soient a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c. premier avec b, il existe

et B deux polynômes. A et B sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1. Corollaire 2 Soient A, B, C ∈ K[X ] avec A = 0 ou B = 0. Si C | A et C |B alors C | pgcd(A, B). 8 Corollaire 3. Lemme de Gauss Soient A, B, C ∈ K[X ]. Si A |BC et pgcd(A, B) = 1 alors A |C. 2.4. ppcm Proposition 5 Soient A, B ∈ K[X ] des polynômes non nuls, alors il existe un unique polynôme unitaire M de plus petit degré tel que A | M et B| M. Cet unique

Arquitectos de Foro Boca inaugure au Mexique Architectes: Rojkind Arquitectos Lieu: . Boca del Río, Ver, Mexico Architecte en charge: Michel Rojkind Design Team: Agustín Pereyra, Adrián Aguilar, Arturo Ortíz, Andrea León, Gerardo Salinas, Carsten Lemme, Jorge González R., Cynthia Ponce, Julieta Inclán, Pablo Herrera, Rubén García, Salvador Cortés, Diego Díaz Lezama, Paulina Goycoolea, Alfonso Paz , Laura Hernández, Paulina Elizalde, Fernanda Casar, Daniel Gaytán, Julio Serralde, Félix Mendoza, Beatriz

EXERCICE 1 Le titre Absolute CAC 40 est un produit structuré et entre dans la catégorie des produits complexes. La maturité du produit est de 5 ans, émission le 12/02/2021, convention de base EXACT/EXACT (=ACT/ACT). Le produit distribue les flux calculés à partir des performances absolues calculées par rapport aux observations du niveau du CAC 40 année sur année et sont capés à 15%. Ses flux sont distribués à maturité. Le capital est garanti. Les coupons sont garantis si le niveau

Xn→ 0. Lemme 10. (inégalité de Markov) Si X est une v.a. alors pour tout λ > 0 on a 0 et intégrable (c-à–d E[X] < +∞) P(X λ) E[X] λ Démonstration. Dans le cas où X admet une densité f on a que P(X λ) = 0 ∞ I[λ,+∞[(x) f (x)dx ∞ 0 E[X] x f (x)dx = λ λ car pour tout x 0 on a I[λ,+∞[(x) x/λ. En général on observe que le même argument peut être appliqué à l’espérance mathématique P(X car si F G alors 0 λ) = E[I[λ,+∞[(X)] E[X/λ] E[F ] E[G]. Lemme 11. (Inégalité

− y), la distance minimum d d’un code lin´eaire C est le minimum des poids w(x) pour x ∈ C non nul. (On suppose que C n’est pas le code nul.) On regroupe les trois param`etres n, k et d d’un code lin´eaire C en disant que C est de type (n, k, d). Lemme 2.1 ([Dem, Prop.9.1],[Pre, 18.4]). On a toujours d + k ≤ n + 1 (borne de Singleton). D´emonstration. Soit V le sous espace de Fn2 engendr´e par les vecteurs donc les d−1 premi`eres coordonn´ees sont nulles. Consid´erons le code C ∩ V . Sa longueur

f]a; +1] = a 2 Rg 1.2.2 Remarques 1 ) Tout sous - ensemble ouvert de R est un ouvert de R. 2 ) Si O est un sous - ensemble ouvert de R, alors O \ R = Onf 1; +1g est un ouvert de R. Donc R est un sous - espace topologique de R. 1.3 Lemme a) f 1g et f+1g sont des parties fermées de R. b) R est compact. c) Une partie O de R est un ouvert de R si et seulement s’ existe une famille (Ik )k2K il de parties de R telle que O = [k2K Ik et véri…ant: )K N ) 8k; k 0 2 K; k 6= k 0 ) Ik \ Ik0

= -1 initialement L'algorithme naif MISDFS consiste à simuler l'algorithme séquentiel en faisant un parcours DFS des sommets du graphe. On parcours tous les sommets et si ^b = -1, alors on choisit u de MIS, ^b=1 et pourtous ces voisins, ^b = 0. lemme : • • MESSAGE (MISDFS) = O(|E|) TEMPS(MISDFS) = O(n) Algorithme MISRANK : Il existe une variante : MISRANK. L'idée consiste à décider de joindre le MIS que si tous ces voisins qui ont une ID plus grand ont déjà décidé de ne pas joindre le MIS

triangle inscrit » dans le segment de parabole relatif à la corde [AC]. Les segments de parabole relatifs aux cordes [AB] et [BC] (fig2) seront appelés « les segments restants » relatifs au « triangle inscrit » ABC. Le résultat (2) sera noté : Lemme 1 " La différence entre l’aire du segment et l’aire du « triangle inscrit » est inférieure à l’aire de ce triangle." Désormais, pour simplifier, l’unité d’aire sera celle du triangle ABC. Duplication 1°question A chacun des « segments restants

r´partition de la probabilit´ k=1 1 empirique µn = n k=1 δxn calcul´e au point a. Afin de montrer que la discr´pance d’une e e suite ´quir´partie converge vers 0, nous ´tablissons le lemme suivant qui donne des conditions e e e suffisantes pour qu’une suite Fn de fonctions de r´partition converge uniform´ment vers Π. e e Lemme 1.4 Soit (µn , n ≥ 1) une suite de probabilit´s sur la tribu des bor´liens de [0, 1]d et e e (Fn , n ≥ 1) la suite des fonctions de r´partition des µn telle que Fn → Π dans L1 ([0