Lemme

ÃÒ , Ü ´Üµ ´ µ ¾ Ò ½ 5. Définition Un graphe simple est dit régulier de degré Ö, lorsque tous ses sommets sont de degré Ö. 6. Lemme des poignées de mains Soit ´ µ un graphe simple, alors ¾ Ü ´ µ ¾ Ü En effet, chaque paire Ü Ý de est comptée deux fois, une fois pour ´Üµ et une seconde fois pour ´Ý µ Remarque Le lemme des poignées de mains reste valable pour les multigraphes avec boucles en convenant qu’une boucle contribue pour 2 dans le calcul du degré d’un

Th´ eor` eme 15 (Convergence domin´ ee). Soit (fn )n≥1 une suite de fonctions mesurables convergeant µp.p. vers f telle qu’il existe une fonction mesurable g v´erifiant sup fn ≤ g et gdµ < ∞. n≥1 Alors, lim n→∞ fn dµ = f dµ. Th´ eor` eme 16 (Lemme de Fatou). Soit (fn )n≥1 une suite de fonctions mesurables positives. Alors, lim inf fn dµ ≤ lim inf n→∞ n→∞ fn dµ. La th´eor`eme de convergence domin´ee, utile tel quel, permet aussi d’obtenir ces deux r´esultats de continuit´e et de diff´erentiabilit´e

l'état s. Alors F doit vérifier : (4) F(m,s)= sup {U(Xt,X2) x e cp (m . s) +~JF ( X 3 +g (s') - l , s') 1t (s, ds') } s g (S') Soit IF l'espace des fonctions réelles continues et bornées de ~+ X S, muni de la norme 1VII = Sup If(m, s) 1. m, s LEMME 1 : Sous les hypothèses 1 à 3, pour toute fonction-prix continue et strictement positive de S dans ~ +, il existe une fonction valeur unique FE IF qui vérifie (4). F est strictement croissante, strictement concave, et continûment différentiable par

Proposition 1.4.1. Pout tout k ≥ 0, 1. pgcd(a, b) = pgcd(rk , rk+1 ). 2. rk = auk + bvk 9 D´emonstration. Par r´ecurrence sur k. La premi`ere propri´et´e d´ecoule du lemme suivant : Lemme 1.4.2. Soient a et b deux entiers, avec b = 0. Si r est le reste de la division euclidienne de a par b alors pgcd(a, b) = pgcd(b, r). D´emonstration. (du Lemme). Si a = bq + r, alors d|a et d|b, si et seulement si d|b et d|r. La deuxi`eme est bien vraie pour k = 0, puisque r0 = a, u0 = 1, v0 = 0. On calcule par r´ecurrence

neutre risque • 2.4 Modèle de courbe de taux HO et LEE INSEA Devolder 5 PARTIE 3 : Calcul stochastique • • • • • • 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Motivation Processus stochastiques en temps continu Le mouvement brownien Intégration stochastique – Lemme de ITO Equations différentielles stochastiques Théorème de GIRSANOV INSEA Devolder 6 3 PARTIE 4 : Modèles en temps continu • 4.1 Modèle brownien additif et géométrique • 4.2 Modèle de BLACK SCHOLES • 4.3 Modèles de courbe de taux de

z0 = 0, Z = z − z0 , on a, 0 tel que b + Dr ⊂ A. A est fermé : soit u ∈ A \ A. Il existe donc une suite (un ) ⊂ A qui converge vers u. Comme f est continue, 0 = lim f (un ) = f (u), donc u ∈ Z (f ). La fonction f étant analytique en u, le lemme permet de conclure : u ∈ A. Corollary 1.2.5. Soit f une fonction analytique sur un domaine U . Alors : le développement en série entière de f au voisinage de chaque point de U est unique, si f n'est pas nulle, tout sous ensemble compact de U contient

existe dans R. Positivit´: A ⊂ R+ donc Sup(A) ∈ R+ . e S´paration: N (x) = 0 ⇒ ∀y = 0E , N (xy) = 0. En particulier, pour y = 1E , N (x) = 0 donc x = 0E . e N (λxy) N (xy) Homog´n´it´: N (λx) = Sup e e e = Sup |λ| = Sup(|λ|.A) N (y) N (y) y=0E y=0E Lemme Pour A ⊂ R, A = ∅, major´ et k ∈ R+ , Sup(k.A) = k. Sup(A). e Espaces vectoriels norm´s e 7 D´monstration : e Si k = 0, k.A = {0} donc Sup(k.A) = 0 = 0. Sup(A). Sinon, k > 0 et la d´finition de Sup(A) peut e ∀t ∈ A, t Sup(A) ∀t ∈ A, kt k Sup(A)

Exercice : démontrer la version forte du théorème de Bézout : ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ∃u ∈ Z, ∃v ∈ Z, au + bv = PGCD(a, b). L’algorithme d’Euclide permet de déterminer ce PGCD et de trouver des coefficients u et v vérifiant l’égalité ci-dessus. Théorème 1.4.3. (Lemme d’Euclide) Soit p un nombre premier et soient a, b ∈ N . Si p divise le produit ab, alors p divise a ou p divise b : ∀p ∈ P, ∀(a, b) ∈ N × N, p|ab =⇒ p|a ou p|b. 14 Démonstration : Soit p un nombre premier et soient a et b des entiers naturels

suite de Fibonacci. L’algorithme d’Euclide fait au plus n it´erations (ou appels r´ecursifs) sur un tel couple (a, b). De plus, ce nombre est atteint pour certains couples (a, b) satisfaisant ces conditions. Ce th´eor`eme d´ecoule imm´ediatement du lemme pr´ec´edent, puisque s’il y avait (n + 1) appels r´ecursifs ou plus, on aurait b ≥ Fn+2 . De plus, on montre par r´ecurrence sur n, qu’il y a exactement n appels r´ecursifs pour le couple (a, b) = (Fn+2 , Fn+1 ). Si n=0, (Fn+2 , Fn+1 ) = (2, 1).

Exercice : démontrer la version forte du théorème de Bézout : ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ∃u ∈ Z, ∃v ∈ Z, au + bv = PGCD(a, b). L’algorithme d’Euclide permet de déterminer ce PGCD et de trouver des coefficients u et v vérifiant l’égalité ci-dessus. Théorème 5.4.3. (Lemme d’Euclide) Soit p un nombre premier et soient a, b ∈ N . Si p divise le produit ab, alors p divise a ou p divise b : ∀p ∈ P, ∀(a, b) ∈ N × N, p|ab =⇒ p|a ou p|b. 14 Démonstration : Soit p un nombre premier et soient a et b des entiers naturels