Lemme

ce théorème affirme alors que si une fonction définie et continue sur un intervalle de R à valeurs réelles, prend au moins une valeur positive et au moins une valeur négative alors cette fonction s’annule au moins une fois dans cet intervalle. ⋄ Lemme. Un lemme est un théorème préparatoire à l’établissement d’un théorème de plus grande importance. ⋄ Conjecture. Une conjecture est une proposition que l’on suppose vraie sans parvenir à la démontrer. Les conjectures sont le moteur du progrès des mathématiques

profondeur d'une cruche. Dialogue à la bibliothèque entre un étudiant en lettres et un autre en maths : "Scalaire ? (c'est quelle heure) - Catharsis. (4h06)" Démontrons par récurrence que toutes les femmes sont belles. 1) On montrera d'abord le lemme suivant: pour chaque ensemble de n femmes (n dans N quelconque), toutes ces n femmes sont aussi belles les unes que les autres. *La proposition est vraie pour n=1: toutes les femmes d'un ensemble de 1 femme sont aussi belles. *Supposons que la proposition

terme F dépend des variables d’état, du temps et de l’échéance, l’application du lemme d’Itô permet de décrire l’évolution de F. Puis, via un raisonnement d’arbitrage et la constitution d’un portefeuille de couverture, on obtient la prime de terme ( λ ) liée au modèle, pour aboutir à l’équation fondamentale de valorisation et à la solution de cette équation. À partir de la dynamique des états, l’application du lemme d’Itô permet d’obtenir l’équation fondamentale de valorisation du modèle asymétrique:

La fonction exponentielle Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 L’équation y = y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Un lemme important . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Une première propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 De l’importance d’une condition initiale . . . . . . . . . .

vecteur ei ( resp ej ), alors l'application h a précisément A comme matrice dans les deux bases canoniques car h(εi ) = v −1 of ou(εi ) = v −1 of (ei ) = v −1 ( aij ej ) = aji εj . Donc rangA = rangh et d'après le j lemme suivant, on déduit que rangA = rangf Lemme 4.7.1. : Soient f ∈ L(E, F) et g ∈ L(G, E), alors 1) Si g est surjective, alors 2) Si f est injective, alors rangf = rang(f og). rangg = rang(f og). Preuve : 1) rangf = dimf (E) = dimf (g(G)) = dim(f

vecteur ei ( resp ej ), alors l'application h a précisément A comme matrice dans les deux bases canoniques car h(εi ) = v −1 of ou(εi ) = v −1 of (ei ) = v −1 ( aij ej ) = aji εj . Donc rangA = rangh et d'après le j lemme suivant, on déduit que rangA = rangf Lemme 4.7.1. : Soient f ∈ L(E, F) et g ∈ L(G, E), alors 1) Si g est surjective, alors 2) Si f est injective, alors rangf = rang(f og). rangg = rang(f og). Preuve : 1) rangf = dimf (E) = dimf (g(G)) = dim(f

ses voisins (la taille de son voisinage). Dans le multigraphe ci-contre, on a les degrés : v1 v2 d(v1 ) = 2 v5 d(v2 ) = 2 d(v3 ) = 4 v3 d(v4 ) = 1 v4 d(v5 ) = 3 Théorème 1.1 (Lemme des poignées de mains) La somme des degrés des sommets d’un graphe est égale à deux fois le nombre d’arêtes. Exercice 6 Démontrez le lemme des poignées de mains. C AHIERS DE LA CRM No 6 · 7 1.3.2 Degré d’un graphe Le degré d’un graphe est le degré maximum de tous ses sommets. Dans l’exemple cidessous

simples avec des coefficients inconnus, on calcule ensuite ces coefficients ` a l’aide des lemmes qui suivent. 61 La partie polynˆ omiale de la d´ecomposition simple s’appelle la partie enti`ere de la fraction rationnelle ; elle se calcule ainsi : LEMME: Soit F = P/Q une fraction rationnelle et soit E le quotient de la division de P par Q, i.e. P = EQ + R avec deg(R) < deg Q alors E est la partie enti`ere de la fraction F. D´ emonstration: En effet, en r´eduisant au mˆeme d´enominateur la somme des

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 I.1 I.2 I.3 Tribu des événements d’une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . 609 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 Le lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 II Les variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 II.1 II.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . .

alors cet input voit son prix relatif augmenté. En réaction à cette augmentation du prix de l’input, l’entreprise voudra diminuer la quantité de cet input utilisé au profit des inputs moins onéreux. Demande de facteur et fonction de coût Le lemme de Shephard dit que : la demande conditionnelle de chaque facteur est obtenue en dérivant la fonction de coût par rapport au prix de ce facteur : (voir feuille) Conséquence : * La demande conditionnelle de chaque facteur ne varie pas si le prix