Lemme

les probabilités Pkn que k individus initialement susceptibles aient été infectés par l’épidémie sont données par la formule suivante : l ∀0 ≤ l ≤ n , k=0 n−k l−k Pkn = Φ(λ(n − l)/n)k+m n l . Pour calculer ces valeurs, on utilise le lemme suivant : Lemme 1 (Identité de Wald pour les épidémies). Soit une épidémie En,m (λ, I), de pression finale A. Alors, pour tout θ ≥ 0, on a : e−θA )=1 E( Φ(λθ/n)Z+m où Φ est la transformée de Laplace de I. 1.3 Approximation du comportement au début de l’épidémie

risque-neutre . . . . . . . . . . 1.4 Calcul de la prime d’une option européenne 1.5 Points essentiels du chapitre . . . . . . . . 1.6 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . 1.A Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.A.1 Preuve du Lemme 1.2.3 . . . . . . 1.A.2 Preuve du Théorème 1.3.2 . . . . . 7 7 8 10 11 11 11 12 12 12 15 15 16 17 17 19 19 20 21 21 22 22 22 23 23 24 24 25 25 25 26 26 27 29 31 34 35 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

si k n k=n k n k=n cos(nωx) sin(kωx)dx 0 = 0. On déduit alors les cœfficients par les expressions suivantes : an = ω π 2π/ω f (x) cos(nωx)dx 0 2π/ω ω bn = π f (x) sin(nωx)dx. 0 Ces expressions sont valables même pour n = 0. Lemme 3.1.1 Soit f une fonction périodique de période T > 0 et intégrable dans l’intervalle T α+T [0, T]. Alors pour tout α ∈ R, on a 0 f (t)dt = α f (t)dt. M r A  N -E  44 3.2 Séries de F ourier Preuve. La relation de

XVIe siècle, des algébristes italiens ont découvert une méthode pour calculer une racine d’un polynôme de degré 3 donné sous la forme réduite (4) x3 + p x + q = 0, où p et q sont des paramètres quelconques. La propriété (triviale) suivante est un lemme nécessaire à cette résolution. Propriété 1. Pour tous nombres u et v, on a (5) (u + v)3 − 3 u v(u + v) − (u3 + v 3 ) = 0. La preuve résulte du développement remarquable bien connu (u + v)3 = u3 + 3 u2 v + 3 u v 2 + v 3 que l’on ré-arrange sous la

se spécialise dans les produits dont la technique de production requiert le plus du facteur relativement abondant chez lui ( avions en Europe, textile en Asie) 31/01/2005 Pierre- Noël Giraud/ Ecole des Mines/ Cours d'Initiation à l'Economie 9 Lemme de Stolper Samuelson au théorème de HOS • Le commerce international accroît le bien être moyen dans les deux pays ( comme chez Ricardo) • Mais il provoque aussi une égalisation du prix des facteurs. Par exemple l’écart des salaires entre travail qualifié

fondées sur des axiomes déclarés vrais (c'est-à-dire que les axiomes ne sont pas soumis à l'expérience, même s'ils en sont souvent inspirés) ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique – dénommé généralement théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Bien que les résultats mathématiques soient

sous-culture de motivations, d’arguments standards et d'exemples, d'habitudes de pensée et de modes de raisonnement ésotériques. Les lecteurs visés (tous les douze) peuvent décoder la présentation formelle, détecter l'idée nouvelle cachée dans le lemme 4, sauter les calculs routiniers et sans intérêt des lemmes 1, 2, 3, 5, 6 et 7, et voir ce que l'auteur fait et comment il le fait. Mais, pour le non-initié, c'est un message codé qui ne livrera jamais son secret. Si (à Dieu ne plaise) la confrérie

XVIe siècle, des algébristes italiens ont découvert une méthode pour calculer une racine d’un polynôme de degré 3 donné sous la forme réduite (4) x3 + p x + q = 0, où p et q sont des paramètres quelconques. La propriété (triviale) suivante est un lemme nécessaire à cette résolution. Propriété 1. Pour tous nombres u et v, on a (5) (u + v)3 − 3 u v(u + v) − (u3 + v 3 ) = 0. La preuve résulte du développement remarquable bien connu (u + v)3 = u3 + 3 u2 v + 3 u v 2 + v 3 que l’on ré-arrange sous la

≤ n, on a a tk f (t)dt = 0. On souhaite prouver que, dans l’intervalle [a, b], il existe au moins n + 1 points o` f s’annule en changeant de signe. u 1. Traiter le cas n = 0. 2. Traiter le cas n = 1. 3. Traiter le cas g´n´ral. e e Exercice 5 - Lemme de Riemann-Lebesgue - L2/Math Sup Soit ϕ une fonction en escalier sur [a, b]. On pose b un = a ϕ(x) sin(nx)dx. Montrer que limn→+∞ un = 0. Montrer que cette propri´t´ est conserv´e si ϕ est continue par ee e morceaux sur [a, b]. Exercice

Si a = 1 alors (un) est constante (donc convergente vers 1) · Si a Î ]1 ; +¥[ alors (un) est divergente (vers +¥). Démonstration : Nous allons utiliser le résultat suivant : 6.3. Lemme Inégalité de Bernoulli Pour tout réel x positif et tout entier naturel n, on a : (1+ x ) n  1 + nx Démonstration du lemme : Soit x Î +. On considère la propriété Ã(n) définie pour tout n Î  par : Remarque : on peut étendre Ã(n) : ( 1+ x )  1 + nx n cette inégalité à x Î ]-1, +¥[ 0 · On a