Lemme

Soit C(q,w) la fonction de coût attachée à la fonction de production f et soit z (q , w)∈ℝ K la + demande de facteurs (conditionelle à q) C est homogène de degré 1 en w et croissante en q /!\ C est concave en w A est homogène de degré 0 en w /!\ (lemme de Shepard) z (q , w) consiste en un seul point en w= w , alors C est différentiable en w et ̄ ̄ Si δC (q , w)=Zk (q , w ) ∀ k =1, ..., K ̄ ̄ δ Wk Précision su "consiste en un seul point": Les équations de KT peuvent avoir des possibilités multiples

converge absolument. Exemple 1.3.9. On reprend l’exemple précédent. Calculons E(eX) = ∫ +∞ −∞ ex f (x)dx = ∫ 1 0 exdx = [ex]1 0 = e1 − 1 . Proposition 1.3.10. Linéarité de l’espérance. Soient X,Y deux v.a.r. et λ, µ ∈ R, E(µX + µY) = λE(X) + µE(Y) . Lemme 1.3.11. Soient X1, . . . , Xn des v.a.r. et soient h1, . . . , hm des fonctions de Rn dans R, alors : E  m∑ j=1 h j(X1, . . . , Xn)  = m∑ j=1 E(h j(X1, . . . , Xn)) . Proposition 1.3.12. Croissance de l’espérance. Si X,Y sont deux v

i=1 (1 + ǫi ) =1+δ + ǫi ) (1.5) o` les ǫi sont tels que |ǫi | < ǫm , et o` k peut varier de 0 (tous les facteurs sont au d´nominateur) ` n u u e a (tous les facteurs sont au nominateur). Le lemme suivant montre que si n n’est pas trop grand alors |δ| est au maximum de l’ordre de nǫm . Lemme de simplification : sous les conditions nǫ ≤ 0, 1, ǫ < 5 10−3 , et |ǫi | < ǫ, la valeur de δ dans l’´quation (1.5) v´rifie : e e |δ| < 1, 06 nǫ. Rmq : en simple pr´cision ǫ ≃ 6 10−8 la condition nǫ ≤ 0

fin, nous prouverons que : X (yt − y )2 ¯ soit SCT = X¡ ¢ ¯ 2 yt − y ˆ ˆ = SCE + X + u2 ˆt SCR . En guise d’´tape pr´liminaire, d´montrons une formule de calcul commode pour e e e P P 2 P ¯ b ¯ Lemme ut = (yt − y )2 − ˆ2 (xt − x)2 ˆ D´monstration e ut ˆ = = = yt − a − ˆ t ˆ bx (yt − y ) − ˆ t − x) . ¯ b(x ¯ yt − yt ˆ Donc X Mais P u2 = ˆt X (yt − y )2 − 2ˆ ¯ b X (xt − x) (yt − y ) + ˆ2 ¯ ¯ b

loing que peust estre ouy, s’escria, disant : « Panurge, mon amy, vinaigre, vinaigre ! » (l.28-29) Le narrateur semble réintroduire le style direct afin d’exacerber le caractère urgent de l’ingestion, qui est également souligné par la répétition du lemme « vinaigre » et l’exclamative. L’idée de démesure prend également la forme d’une accumulation sémantique et visuelle. Rabelais, grand adepte du détournement de la liste, l’utilise ici afin de favoriser cette idée d’excessive abondance : Quatre grandes

1. D´montrer que tf est injective si et seulement si f est surjective et tf est surjective si et seulement e si f est injective. 2. D´montrer que ker tf = (imf )⊥ et imtf = (ker f )⊥ . e Exercice 6. On se propose de donner deux d´monstration du e Lemme de Schur. Un endomorphisme u d’un espace vectoriel E de dimension finie qui laisse stable tout hyperplan est une homoth´tie. e 1. Rappel : D´montrer qu’un endomorphisme qui laisse invariante toute droite vectorielle est une e homoth´tie. e 2. Premi`re

d’intégration régionale La diversité des groupes d’intérêt : les consommateurs sont à la fois gagnants (moindres prix) et perdants (chute des recettes douanières) ; les producteurs sont perdants (secteurs importateurs) et gagnants (exportateurs). D’après le lemme de Stolper-Samuelson, le travail peu qualifié est perdant dans les pays développés (France, All). L’action des groupes d’intérêt : plus les groupes sont petits, plus ils s’organisent (pas d’attitude de resquilleur). Cependant De Melo montre que dans

théorème affirme alors que si une fonction définie et continue sur un intervalle de R à valeurs réelles, prend au moins une valeur positive et au moins une valeur négative alors cette fonction s’annule au moins une fois dans cet intervalle. ⋄ Lemme. Un lemme est un théorème préparatoire à l’établissement d’un théorème de plus grande importance. ⋄ Conjecture. Une conjecture est une proposition que l’on suppose vraie sans parvenir à la démontrer. Les conjectures sont le moteur du progrès des mathématiques

ce théorème affirme alors que si une fonction définie et continue sur un intervalle de R à valeurs réelles, prend au moins une valeur positive et au moins une valeur négative alors cette fonction s’annule au moins une fois dans cet intervalle. ⋄ Lemme. Un lemme est un théorème préparatoire à l’établissement d’un théorème de plus grande importance. ⋄ Conjecture. Une conjecture est une proposition que l’on suppose vraie sans parvenir à la démontrer. Les conjectures sont le moteur du progrès des mathématiques

On peut espérer qu’il existe une preuve plus élémentaire ! Lemme : si G est un graphe connexe non biconnexe et non réduit à un point, il existe un sommet s et une partie S de SG telle que : (a) S est non vide et s 6∈ S ; (b) les éléments de S ′ = SG \ (S ∪ {s})) sont déconnectés de S, i.e. que les chemins dans le graphe G qui vont d’un sommet de S à un sommet de S ′ passent nécessairement par s). (c) G|S∪{s} est biconnexe ; Preuve du lemme : on commence par choisir un point d’articulation s1 de G