Lemme

mathŽmatiques sur elles m•mes. En effet, la Logique (MathŽmatique) n'est qu'une des disciplines mathŽmatiques, un autre jeu de r•gles mathŽmatiques, comme Wittgenstein avait tr•s bien soulignŽ: au point que l'ArithmŽtique contient ses propres r•gles logiques (lemme de reprŽsentation au Ier ThŽor•me de Gšdel, 1931). Le probl•me des fondements des mathŽmatiques doit •tre posŽ ˆ l'extŽrieur des mathŽmatiques, en particulier comme probl•me cognitif. On doit reconstruire la spŽcificitŽ des mathŽmatiques, qui est forte

un convergente et sa somme est S si et seulement si n≥n0 il existe S ∈ K tel que lim Sn = S ou n−>+∞ lim Rn = 0. n−>+∞ D´finition 2.2 Donner la nature d’une s´rie c’est dire si la s´rie est convergente ou e e e divergente. Lemme 2.3 La nature d’une s´rie est une propri´t´ asymptotique : si on modifie un e e e nombre fini de termes, on ne change pas la nature. Preuve : Soit un une s´rie et soit (vn )n≥n0 une suite d’´l´ments de K telle que vn = un e ee n≥n0 pour

précédente, f = IdE , si et seulement f est une translation de E , donc ker(ϕ) = { f ∈ E : ϕ( f ) = IdE } = T Donc T est un sous-groupe distingué et GE(E )/T est isomorphe à ϕ(GE(E )) avec ϕ(GE(E )) = GL(E). Décomposition d’une application affine Lemme 1 − Soient E un espace affine de direction E, f une application affine de E et → v un vecteur de E. Alors → − → − − − f ◦ t→ v = t→ v ◦ f ⇐⇒ v ∈ ker( f − IdE ) Preuve (=⇒) On sait que −−−−−→ → − − ∀M ∈ E , Mt→ v (M) = v −−−−→ −−−−−−−−−→ → − − − Soit

borélienne de [0, 1) : est alors facile de constater que P = correspond sur [0, 1), muni de ses boréliens, à l’unique mesure attribuant à chaque intervalle dyadique sa longueur ; c’est la mesure de Lebesgue sur [0, 1). 1.3.3 Loi du 0-1 1.3.3.1 Lemme de Borel-Cantelli a ) Pour toute suite infinie (An ) d’événements d’un espace de probabilité (Ω, , P ), on a : ∈ i ,1 i n} (37) où le symbole σ (pour σ-algèbre) désigne la tribu engendrée définie au paragraphe 1.3.2.2. Nous voulons

λ2 , ..., λs ∈ C, de multiplicité m1 , m2 , ..., ms . Lemma 1.5.1 Soient λ1 , ..., λs s nombres complexes distincts et n1 , ..., ns s nombres naturels. Alors les fonctions t → tq eλj t , 1 ≤ j ≤ s, 0 ≤ q ≤ nj − 1 sont linéairement indépendantes. Le lemme précédent et le fait que t → tq eλj t , 1 ≤ j ≤ s, 0 ≤ q ≤ mj − 1 sont solutions de ap y (p) + ap−1 y (p−1) + ...a1 y ′ + a0 y = 0 impliquent Théorème 1.5.2 Les fonctions t → tq eλj t , 1 ≤ j ≤ s, 0 ≤ q ≤ mj − 1 forment une base de solutions complexes

n´cessairement une valeur qui est prise une infinit´ de fois ; e e b) L’ensemble {xn , n ∈ N} est infini et on est sous l’hypoth`se de ii). e Nous aurons besoin d’un r´sultat interm´diaire pour les espaces m´triques qui e e e est souvent utile. Lemme 3.2.3. (Lemme de la maille) Si une partie A d’un espace m´trique e v´rifie iii) et si ∪i∈I Oi est un recouvrement d’ouverts de A, alors il existe une e constante ρ > 0 tel que pour tout x ∈ A la boule B(x, ρ) est incluse dans un des Oi : ∀x ∈ X, ∃ix ∈ I, B(x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Processus de Wiener et lemme d’Itô 55 12.1 La propriété de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 12.2 Les processus stochastiques en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 12.2.1 Processus de Wiener standard . . . . . . . . . . . . .

(k) pj,j < ∞ l’état j est transient. Une démonstration peut se faire à l’aide des fonction génératrice, en posant Pi,j (z) = (n) (n) pi,j z n et Fi,j (z) = fi,j z n , en notant que Pi,j (z) = δi,j + Fi,j (z) · Pj,j (z) et du Lemme d’Abel, n≥0 Lemme 50. Si une série de terme général un converge, et u = Réciproquement, si un ≥ 0, et si lim z→1 n≥0 un , un z = u(≤ ∞) alors u = z n≥0 alors lim z→1 un z z = u. n≥0 n≥0 un . Ce résultat permet de montrer que

un , ce qui termine la preuve. 2.5 Limites et inégalités. Le lemme suivant est souvent utile : Lemme 1. Si (un ) converge vers un réel a, et si c < a < b alors pour n assez grand, c ≤ un ≤ b. Preuve. Posons = min(b − a, a − c)/2 > 0. Par définition de la limite, il existe N ∈ N tel que ∀n ≥ N , |un − a| ≤ . En particulier, pour n ≥ N , on a : c < a − (a − c)/2 ≤ a − ≤ un ≤ a + ≤ a + (b − a)/2 < b. Théorème 2. Lemme des gendarmes. Si un ≤ vn ≤ wn pour n assez grand, et si (un ) et (wn

l’état j est transient. (k) d’Abel, n≥0 Une démonstration peut se faire à l’aide des fonction génératrice, en posant Pi,j (z) = (n) (n) pi,j z n et Fi,j (z) = fi,j z n , en notant que Pi,j (z) = δi,j + Fi,j (z) · Pj,j (z) et du Lemme n≥0 Lemme 50. Si une série de terme général un converge, et u = Réciproquement, si un ≥ 0, et si lim z z→1 n≥0 un , alors lim z→1 un z z = u. n≥0 n≥0 un z = u(≤ ∞) alors u = n≥0 un . Ce résultat permet de montrer que la récurrence