Lemme

est une famille libre maximale, autrement dit : est une base de E Conséquence 3 : une base est une famille génératrice minimale, autrement dit : est une base de E. é é ô é é 1.8. Dimension d’un espace vectoriel. 1.8.1. Espaces de dimension finie. Lemme de la famille génératrice gloutonne (ou ”d’échange”) : si L est une famille libre et G une famille génératrice, pour tout vecteur il existe un vecteur tel que si l’on remplace la famille G1 obtenue est encore génératrice. Démonstration : ; Posons é

acceptera trois lemmes: Lemme 1: L’inégalité de Schwartz < 𝛼⏐𝛼 >< 𝛽⏐𝛽 > ≥ < 𝛼⏐𝛽 > + qui est analogue à : 𝑎 + 𝑏 + ≥ 𝑎. 𝑏 + dans l’espace euclidien. Lemme 2: La valeur moyenne d’un opérateur hermitien est purement réelle. Lemme 3: La valeur moyenne d’un opérateur anti-hermitien, défini comme 𝐶 = −𝐶6 est purement imaginaire.Principe de mesure et incertitude En utilisant lemme 1, avec: ⏐𝛼

Sur quelle base peut-on alors invoquer cette «parole de Dieu» pour prouver n’importe quoi ? N’en déplaise aux exégètes de l’islam, mais Allah n’a vraiment pas gâté les scientifiques. Après avoir cherché vainement, je n’ai pas trouvé un théorème, lemme ou formule qui port le nom d’un des centaines de mathématiciens arabo-islamique tandis que dans les mathématiques anciennes les noms de scientifiques grecs sont utilisés jusqu’à présent pour maints théorèmes et formules. C’est sans doute la meilleure

considère l’application suivante X S : (Ω, F, P) −→ E S , B S w −→ (Xt (w ))t∈S , PS est l’image de P par X S qui est une application mesurable, en d’autre termes ∀B ∈ B S : déf not PS (B) = P (X S )−1 (B) = P X S ∈ B . On a le lemme suivant: Lemme 1.1 Le système ainsi construit E S , B S , PS , πS,S S,S ∈ST , S⊂S est projectif. De plus la mesure limite projective PT coïncide avec la mesure image de P par la fonction aléatoire ΨX du processus X et E T , B T , PT , (πt )t∈T

sin(nωx)dx. 0 Ces expressions sont valables même pour n = 0. Lemme 3.1.1 Soit f une fonction périodique de période T > 0 et intégrable dans l’intervalle T [0, T]. Alors pour tout α ∈ R, on a 0 M r A  N -E  α+T f (t)dt = f (t)dt. α 46 3.2 Séries de F ourier Preuve. La relation de Chasles nous permet d’écrire : 0 α+T f (t)dt = T α+T f (t)dt + 0 a α α+T f (t)dt = α+T 0 f (y)dy. 0 α T 0 0 Moyennant ce lemme, les cœfficients peuvent s’écrire : an = ω π 2π/ω f (x)

Et = E et Bt = B. On considère l’application suivante X S : (Ω, F, P) −→ E S , B S w −→ (Xt (w ))t∈S , PS est l’image de P par X S qui est une application mesurable, en d’autre termes ∀B ∈ B S : PS (B) = P (X S )−1 (B) = P X S ∈ B . On a le lemme suivant: Lemme 1.1 Le système ainsi construit E S , B S , PS , πS,S S,S ∈ST , S⊂S déf not est projectif. De plus la mesure limite projective PT coïncide avec la mesure image de P par la fonction aléatoire ΨX du processus X et E T , B T , PT , (πt )t∈T

Dans d’autres séquences, au moins une position du chaînage est ouverte sur une réalisation libre, limitée uniquement par les règles de sous-catégorisation imposées par le verbe. Elle se situe fréquemment sur la borne droite de la séquence. Dans le lemme de l’expression, cette position est exprimée généralement par un indéfini (nous soulignons) : halshs-00410917, version 1 - 16 Mar 2010 18. casser les pieds à qqn 20. mettre qqn au pied du mur 21. renvoyer qqch aux calendes grecques Si l’on part

repassant au complémentaire, on a ?Ω ⊆ τ(ℱΩ). Et comme précédemment, la tribu engendrée par ?Ω étant la plus petite tribu sur-ensemble de ?Ω, on a que τ(?Ω) ⊆ τ(ℱΩ), i.e par définition de ℬ(Ω) : ℬ(Ω) ⊆ τ(ℱΩ). On a montré la seconde inclusion. ∎ 1.3.3 Lemme : Soit G un ouvert de ℝ (non vide). Alors il existe une suite (] an, bn [)n∈ℕ , avec -∞ < an < bn < +∞, telle que : G = . 1.3.4 Notation: ℐb= l’ensemble des intervalles bornés de ℝ ℐg = { ]a,b], (a,b) ∈ ℝ²} ℐd = { [a,b[, (a,b) ∈ ℝ²} ℐo = { ]a,b],

que la variance totale des y, soit A cette fin, nous prouverons que : (yt − y¯)2 = yˆt − ¯yˆ SCT = SCE soit 2 u ˆ2t + + SCR . En guise d’´etape pr´eliminaire, d´emontrons une formule de calcul commode pour Lemme u ˆ2t = (yt − y¯)2 − ˆb2 (xt − x¯)2 D´ emonstration u ˆt = = = yt − ˆa − ˆbxt (yt − y¯) − ˆb(xt − x ¯) . yt − yˆt Donc u ˆ2t = Mais 2 (yt − y¯) − 2ˆb (xt − x¯) (yt − y¯) = ˆb (xt − x ¯) (yt − y¯) + ˆb2

nous faut introduire un résultat préliminaire.CHAPITRE 1. PROBLÈMES DE STURM-LIOUVILLE 11 Lemme 1.1. [Principe d’existence et d’unicité d’une solutions d’équa- tion différentielle de second ordre] Soit p, q et f des fonctions continues sur un intervalle [a, b], alors pour x0 ∈ [a, b] y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) possède une solution unique qui satisfait les conditions initiales y(x0) = y0 y′(x0) = y′0. Ce lemme ressemble beaucoup à un théorème semblable pour les équations de premier ordre. La différence