Lemme

..) Lemme 1.1 Si H = A + BDC H Lemme 1.2 Notons D = E 1 =A 1 1 A 1 B D 1 + CA 1 B 1 CA 1 FH G où E; F; G; H sont les sous matrices de la partition A= E G F H D 1F H 1 H 1 GD 1 GH alors A 1 = D H 1 1 GD 1 H 1 1 Exercice 1.17 Sur un cas simple, véri…ez les dimensions de toutes ces matrices (Les produits doivent avoir un sens ! ! !) 30 CHAPITRE 1. PROCESSUS STOCHASTIQUES Exercice 1.18 Appliquer le second lemme lorsque

événements A1, A2 sont indépendants si P (A1 ∩ A2) = P (A1)× P (A2). Remarque 3.1.6 Pour que les événements ci-dessus soient indépendants, il ne suffit pas qu’ils soient deux à deux indépendants (c’est à dire P (Ai∩Aj) = P (Ai)P (Aj),∀i 6= j). Lemme 3.1.1 A1, A2, · · · ∈ A sont indépendants alors Ā1, Ā2, . . . sont indépendants. 27Preuve : Nous ne faisons la démonstration que pour deux événements A1, A2. Nous avons (en utilisant les propriétés des mesures) P (Ā1 ∩ Ā2) = P (A1 ∪ A2)

un réel A′ tel que x > A′ implique 2 ε ′ ′ |g(x) − ℓ | < . Si x > max(A, A ) alors |(f + g)(x) − (ℓ + ℓ′ )| = |(f (x) − ℓ) + (g(x) − ℓ′ )| < 2 ε ε |f (x) − ℓ| + |g(x) − ℓ′ | < + = ε. Par définition, lim f + g = ℓ + ℓ′ . ¤ x→∞ 2 2 1.2.2 Produit Lemme. Si ℓ = 0 alors lim f g = 0. a Preuve. Supposons ici que a = +∞ (le cas a ∈ R se traite identiquement). Soit ε > 0. Il existe un réel A tel que x > A implique |f (x)| < ε et un réel A′ tel que x > A′ implique |g(x) − ℓ′| < ε. Si x > max(A, A′ )

traduit par une unicité globale. Lemme 3.1 Il existe α > 0 et une unique solution ϕ :]x0 − α; x0 + α[→ U de y ′ = f (x, y) vérifiant ϕ(x0 ) = y0 . Lemme 3.2 Si ϕ1 et ϕ2 sont deux solutions du problème de Cauchy définies sur le même intervalle J, alors elles coïncident. Soit alors (Ir , φr )r l’ensemble des solutions au problème de Cauchy. Le Lemme 1 assure qu’il n’est pas vide. Notons J = ∪r Ir et φ la fonction définie sur J par φ|Ir = φr : φ est bien définie par le Lemme 2 d’unicité et J est par définition

: Distance entre deux points e On d´finit la distance entre deux points A et B de l’espace par : e − − → d(A,B) = AB x x Si R est un rep`re orthonorm´ et si A y , B y , e e z z d(A,B) = (x − x)2 + (y − y)2 + (z − z)2 6.3 Produit vectoriel Lemme 6.5 : Colin´arit´ de deux vecteurs e e → − → Deux vecteurs − = (x1 ,y1 ,z1 ) et u2 = (x2 ,y2 ,z2 ) sont colin´ares si et seulement si : u1 e x1 y1 x2 x = 1 y2 z1 x2 y = 1 z2 z1 y2 =0 z2 D´finition 6.7 : Produit vectoriel e On appelle produit vectoriel

deux points e On d´finit la distance entre deux points A et B de l’espace par : e − − → d(A,B) = AB x x Si R est un rep`re orthonorm´ et si A y , B y , e e z z (x − x)2 + (y − y)2 + (z − z)2 d(A,B) = 6.3 Produit vectoriel Lemme 6.5 : Colin´arit´ de deux vecteurs e e → → Deux vecteurs − = (x1 ,y1 ,z1 ) et − = (x2 ,y2 ,z2 ) sont colin´ares si et seulement si : u1 u2 e x1 y1 x2 x = 1 y2 z1 x2 y = 1 z2 z1 y2 =0 z2 D´finition 6.7 : Produit vectoriel

deux points e On d´finit la distance entre deux points A et B de l’espace par : e − − → d(A,B) = AB x x Si R est un rep`re orthonorm´ et si A y , B y , e e z z (x − x)2 + (y − y)2 + (z − z)2 d(A,B) = 6.3 Produit vectoriel Lemme 6.5 : Colin´arit´ de deux vecteurs e e → → Deux vecteurs − = (x1 ,y1 ,z1 ) et − = (x2 ,y2 ,z2 ) sont colin´ares si et seulement si : u1 u2 e x1 y1 x2 x = 1 y2 z1 x2 y = 1 z2 z1 y2 =0 z2 D´finition 6.7 : Produit vectoriel

pgcd(a, ka) = a, pour tout k ∈ Z et a 0. – Cas particuliers. Pour tout a 0 : pgcd(a, 0) = a et pgcd(a, 1) = 1. 1.3. Algorithme d’Euclide Lemme 1 Soient a, b ∈ N∗ . Écrivons la division euclidienne a = bq + r. Alors pgcd(a, b) = pgcd(b, r) En fait on a même pgcd(a, b) = pgcd(b, a − qb) pour tout q ∈ Z. Mais pour optimiser l’algorithme d’Euclide on applique le lemme avec q le quotient. Démonstration Nous allons montrer que les diviseurs de a et de b sont exactement les mêmes que les diviseurs de b et

se meut, tantôt plus lentement, tantôt plus vite. LEMME I Les corps se distinguent les uns des autres par le mouvement et le repos, la vitesse ou la lenteur, et non par la substance. Démonstration : La première partie de ce lemme est de soi évidente ; quant à ce second point que les corps ne diffèrent point par la substance, il résulte des Propos. 5 et 8, part. 1, et plus clairement encore du Schol. de la Propos. 15, part. 1. LEMME II Spinoza, L'Ethique 49 Tous les corps ont quelque

premier pays et il va se spécialiser dans les productions intensives en travail qualifié, les avions par exemple, et le second pays dans les productions intensives en travail peu qualifié, comme le textile. 3.4. Egalisation du coût des facteurs (lemme de Stolper-Samuelson) Il s'agit d'une extension du théorème de H.O. due à Samuelson et Stolper. Ils démontrent que l'échange conduit à l'égalisation des coûts absolus et relatifs des facteurs dans les deux pays. On peut appliquer le théorème