Libération Conditionnelle

succès au terme de n épreuves est définie par : ✓ ◆ n k p(X = k) = p (1 p)n k où k 2 N tel que 0  k  n k On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p Propriétés : E(X) = np V (X) = np (1 p) p (X) = np (1 p) II - PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 1 - Probabilité d’un évènement : Définition : Soit A et B deux évènements tels que p(A) 6= 0 . La probabilité de B sachant A est le nombre noté p(A \ B) pA (B) défini par pA (B) = p(A) Remarques : pA (A) = 1 pA (?) = 0 pA (⌦) = 1 ¯ pA (B)

CHAPITRE 4 – CONDITIONNEMENT Variables aléatoires discrètes - Probabilité conditionnelle – Arbre pondéré et calculs de probabilités . I – Variables aléatoires discrètes 1. Loi de probabilité d’une variable aléatoire : Définition : Ω est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire sur E, c’est associer un réel à chaque issue. Exemple : On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.  On gagne 5€ chaque fois que l’on obtient Pile  On

il décide d’offrir des places de cinéma dans la moitié des tablettes mises en vente. Parmi les tablettes gagnantes, 60% permettent de gagner exactement une place de cinéma et 40% exactement deux places de cinéma. On note PB(A) la probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé. 1. Un client achète une tablette de chocolat. On considère les événements suivants : G = "le client achète une tablette gagnante" U = "le client gagne exactement une place de cinéma"

PROBABILITES CONDITIONNELLES Une probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement se réalise sachant qu’un autre événement est déjà réalisé. Cette probabilité est notée P(A/B) et se lit « probabilité de A sachant B réalisé. » Dans le cas des probabilités conditionnelles, deux types d’événements s’opposent : Les événements indépendants Les événements dépendants Les événements indépendants ne sont pas concernés directement par la formulation des probabilités conditionnelles puisque la

CONDITIONNEMENT INDEPENDANCE 1°) Probabilité conditionnelle 1-1 Exercice Dans un lycée de 1000 élèves , 45 % des élèves sont des filles , 55 % des garçons . Parmi les filles , 30 % sont des internes et 70 % des externes Parmi les garçons , 60 % sont internes et 40 % externes a) Représenter cette situation par un arbre b) Calculer la probabilité de tirer , dans le fichier élève de tous les élèves du lycée ,  une fille externe  un élève externe c) On tire le fichier d’un élève et on constate qu’il

événements incompatibles : pHA › BL = 0, et événements indépendants : pHA › BL = pHAL µ pHBL. Considérons un événement B dont la réalisation dépend de l'intervention de l'une des causes : A1 , ..., Ai , ..., An . Soit pHB ê Ai L la probabilité conditionnelle de B, si c'est la cause Ai qui intervient. Et soit pHAi L la probabilité d'intervention de Ai , appelée probabilité a priori de Ai . (1.7) Le théorème de Bayes, appelé aussi théorème de la probabilité des causes, calcule la probabilité pHAi

arbre pondéré (en probabilité conditionnelle) ? Une chose simple à mettre en place, que vous ne faites pas toujours… on lit l’énoncé et on fait un recueil des données : en général on vous donne des p(A), p(B) … p A ( B ) … Comment calculer une probabilité p(E) (cas discret) ? On regarde s’il elle est donnée dans l’énoncé. On applique la formule p ( E ) = card ( E ) en dénombrant tous les cas favorables à E. card (Ω) Dans le cadre des probabilités conditionnelles, on applique la formule des probabilités

Sujet 1 ( BAC S ) Exercice 1 : (Probabilités conditionnelles) Un gardien de but doit faire face, lors d’une démonstration, à un certain nombre de tirs directs.Les expériences précédentes conduisent à penser que : - S’il a arrêté le n-ième tir, la probabilité pour qu’il arrête le suivant (le (n+1)-ième) est 0,8 ; - S’il a laissé passer le n-ième tir, la probabilité pour qu’il arrête le suivant est 0,6 ; - La probabilité pour qu’il arrête le premier tir est 0,7. Dans tout

. . . 2.1.2.2. Espaces probabilisés discrets . . . . . . . . . . . . 2.1.2.3. Propriétés élémentaires des probabilités . . . . . . 2.1.2.4. Ensembles, Événements négligeables . . . . . . . 2.2. Probabilité conditionnelle et indépendance . . . . . . . . . . 2.2.1. Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.1. Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.2. Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Événements indépendants . . . . . . . . .

noté Α ) • On parle sur l’échelle [0,1] mais on peut évidemment parler en % p.ex. 15% = 15/100 = 0.15 et 100% = 100/100 = 1 2. Probabilité Conditionnelle Schéma 2 Au lieu de regarder l’univers E on peut se limiter à une portion de cet univers – par exemple à la partie B ! le dénominateur est différent la notation Pr(A | B) se lit probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé, ou étant donné qu’on est dans B Pr(A | B) = nombre de points dans A et B Pr(A et B) = nombre de points