Limite d'élasticité

L’encadrement précédent permet (en multipliant par n et en divisant par ln αn , pour n = 1) d’obtenir les deux inégalités : 2 αn n (e − αn ) et α2 n (e − αn ). On obtient donc l’encadrement fin ln αn nal : 2 αn α2 n (e − αn ) n ln αn d. Par passage à la limite on a donc lim n (e − αn ) = e2 .. n→+∞ On peut en déduite que lim αn = lim e 1 − n→+∞ n→+∞ e . n La suite (αn ) converge donc comme la suite 1 c’est-à-dire lentement. n novembre 2006 6 

un entier naturel. un+1 − un = un − Donc la suite (un ) est décroissante. d. Puisque la suite (un ) est décroissante et minorée (par 0), on en déduit que la suite (un ) est convergente. e. Notons ℓ la limite de la suite (un ). Pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ 4 et donc par passage à la limite quand n tend vers +∞, on a 0 ≤ ℓ ≤ 4. Puisque la fonction f est continue sur [0; 4] et donc en ℓ, en faisant tendre n vers +∞ dans l’égalité un+1 = f(un ), on obtient f(ℓ) = ℓ. La question 3) de la partie

G_k(x) = \frac 1 3 ax^3 + \frac 1 2 bx^2 + cx + k, où k est une constante. Ce résultat se démontre par application des règles de calcul sur les dérivées ou primitives, ou par la méthode de la quadrature de la parabole qui mêle géométrie et passage à la limite.

K ( K = R ou K = C ) , unicité de la limite ; toute suite convergente est bornées , toute suite convergente vers un réel non nul est du signe de sa limite APCR ; suite extraite : définition , sous-suite d’une suite convergente et théorème fondamental ”la suite U = u n n converge vers L SSSI toutes les sous-suites convergent vers L SSSI les deux sous-suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers L ” ; suites de limite nulle , théorèmes sur opérations et limites ; suites réelles divergentes vers ±∞

domaine de déf d’une fonction f(x) se lit en effectuant une projection orthogonal du graphe de f(x) sur l’axe des x. 6. Limite de fonction A. Définitions : Limite en un réel : Lim x→a f(x) =b, quand x prend des valeurs se rapprochant de a alors les images se rapproche de b Limite en l’∞ : Lim x→a f(x) =∞, quand x prend des valeurs se rapprochant de a alors les images finissent par dépasser n’importe quel nombre réel aussi grand que l’on veut 7. Asymptotes

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit f  x=∞ . que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) x −∞ lim f  x=−∞ . x −∞

cours : Nombres complexes 4/4 Limites Asymptotes à une courbe Les formes indéterminées On dit qu'il y a forme indéterminée lorsqu'on ne peut pas donner de résultat général à partir des tableaux précédents. Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dans beaucoup de cas trouver la limite en effectuant les manipulations suivantes. Opérations sur les limites Limite d'une somme Si f ou (un) a pour limite l l l +∞ -∞ Si g ou (vn) a pour limite l' +∞ -∞ +∞ -∞ -∞ -∞ pas

soit : et donc la suite (un) est croissante. II. Limite finie ou infinie d'une suite 1) Limite infinie Exemple : La suite (un) définie sur ℕ par a pour limite . En effet, les termes de la suite deviennent aussi grand que l'on souhaite à partir d'un certain rang. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite si tout intervalle, a réel, contient tous les termes

Chapitre II Séries Numériques La série constitue une généralisation de la notion de somme pour une succession in…nie de termes. L’étude des séries consiste à évaluer la somme d’un nombre …ni n de termes successifs, puis, par un calcul de limite, à identi…er le comportement de la série lorsque n devient indé…niment grand. Un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature (convergence ou non ) des séries sans réaliser explicitement les calculs, comme on va le voir par la suite. 2-1

de cours : Nombres complexes 4/4 Limites Asymptotes à une courbe Opérations sur les limites Limite d'une somme Si f ou (un) a pour limite Si g ou (vn) a pour limite Alors f + g ou (un) + (vn) a pour limite Les formes indéterminées On dit qu'il y a forme indéterminée lorsqu'on ne peut pas donner de résultat général à partir des tableaux précédents. Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dans beaucoup de cas trouver la limite en effectuant les manipulations suivantes