Limite d'une suite

Vocabulaire Définition 1 1. Une suite (u n ) est strictement croissante à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 > u n . 2. Une suite (u n ) est strictement décroissante à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 < u n . 3. Une suite (u n ) est stationnaire à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 = u n . 4. Une suite (u n ) est majorée s’il existe un nombre M tel que pour tout n ≥ 0 on a un ≤ M . 5. Une suite (u n ) est minorée s’il existe

1)2   £   £ (c.t + d)/(1 + t2 )).¢ 4 pt. ¡La solution trouvée admet elle une limite nie en 1 ? ¢ 2 pt. ¡ Soit [♠(2)] u une suite réelle. On suppose qu'elle vérie : p K ∀ ε ∈ R+∗ , ∃ K ∈ N, ∀ (p, q) ∈ N2 , ⇒ |up − uq | ε. q K £   Montrez que cette suite est bornée. 2 pt. ¢ ¡ Justiez : il existe au moins une suite strictement croissance ϕ de N dans N telle que £   (uϕ(n) )n converge.¢ 1 pt. ¡ On note λ sa limite. Montrez que (un ) converge aussi vers λ   £   £ (en écrivant |un −λ| = |un

vérifier, il faudrait procéder à une infinité de vérifications, ce qui est impossible. Le raisonnement par récurrence permet de conclure en deux étapes. L'idée du raisonnement par récurrence peut être imagée ainsi : Si l'on peut se placer sur le barreau d'une échelle, et si l'on peut passer d'un barreau quelconque au suivant, alors on peut gravir tous les barreaux, à partir du barreau initial. 2. Le principe Propriété 1 Pour montrer qu'une propriétédépendant d'un nombre entier naturelest vraie pour

Les limites Description : En mathématiques, rechercher la limite d'une suite ou d'une fonction, c'est déterminer si cette suite ou cette fonction s'approche d'une valeur particulière lorsque la variable prend des valeurs extrêmes. Dans cette définition très intuitive, deux notions restent à définir avec précision : la notion de « s'approcher » et celle de « valeur extrême ». Historiquement, les mathématiques se sont d'abord intéressées aux limites de suites : on cherchait à savoir si, pour les

1 LIMITE D’UNE SUITE Etudier la limite d’une suite ( u n ) , c’est examiner le comportement des termes u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ∞ 1 ) LES DIFFERENTS CAS POSSIBLES Soit une suite ( u n ) . cas 1 Si « u n est aussi grand que l’on veut dès que n est assez grand » , alors on dit De manière plus mathématique : que la suite ( u n ) a pour limite + ∞ . Pour tout réel M > 0 , il existe un entier naturel p , tel que, si n ≥ p , alors u n > M On note lim u n =

LES SUITES Avant de commencer l’exercice, reconnaître quel type d’exercice on a à traiter en fonction de la (ou des ) suite(s) définie(s) dans l’énoncé et en fonction aussi des questions posées. On peut considérer en terminale que l’on a trois types d’exercices suivant que l’on travaille avec : ( ) avec n entier naturel  Une suite définie par une formule explicite :  Une suite définie par une relation de récurrence : ( )  Des suites adjacentes. Comme toujours les outils que l’on utilise sont les

une suite de nombres réels, on pose : n Sn = u0 + u 1 + . . . + u n = uk . k=0 La limite de Sn est appelée série de terme général un . (Sn )n est appelée suite des sommes partielles de la série. Notation Une série de terme général un est notée 1.2 un Convergence   ou  n≥0   un . Définition 1.2.1 Une série de terme général un est dite convergente si la suite des sommes partielles (Sn )n est convergente. Dans ce cas, la limite de la suite (Sn

sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls [resp. strictement positif]. Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit des majorants de X, ce qui se traduit par : ∀x ∈ X, x ≤ M, ∀a ∈ Q tel que a < M, ∃x ∈ X | a < x ≤ M et on note M = sup (X) . Il n’est pas difficile de montrer l’unicité d’une telle borne supérieure quand elle existe. Exercice 1.1 Montrer que 0 est la borne supérieure du sous-ensemble X = Q. Solution 1.1 ♠♠♠

premiers termes d’une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d’une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d’une suite un+1 = f (un ) 4 Déterminer le sens de variation d’une suite 5 Montrer qu’une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d’une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique 8 Montrer qu’une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d’une suite géométrique

SUITES PLAN I : Corps des réels 1) Propriétés 2) Borne supérieure et inférieure a) Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires