Limite d'une suite

sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques 1.3 Démonstration par récurrence . . . . . . . . 1.4 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . Les fonctions 2.1 Les limites d’une fonction 2.2 Opérations sur les limites 2.3 Propriétés des limites . . . 2.4 Continuité . . . . . . . . . . 2.5 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l'espace usuel, la norme du vecteur la distance c'est-à-dire la longueur du segment . double barre : Dans le plan, si le vecteur a pour coordonnées Si les points et ont pour coordonnées respectives est . Elle se note à l'aide d'une , sa norme s'écrit et alors : Dans l'espace, si le vecteur a pour coordonnées Si les points et alors : , sa norme s'écrit : ont pour coordonnées respectives 2 et 2 dist(AB)=AB=||AB||=(Xb-Xa) +(Yb-Ya) +(Zb-Za) 2

= 2 0 a +T T a 0 . 3 0 5. Etudier rapidement f : x x x + 1 + e−x ; préciser les branches infinies ; tracer Cf. Pour a> 0, calculer l'aire du domaine plan Da = {M(x, y) ; 0 ≤ x ≤ a et x + 1 ≤ y ≤ f(x) }. Déterminer la limite de cette aire quand a tend vers +∞. dt . x ln(1 + t 2 ) 1°) Montrer que f est définie, continue et dérivable sur R*. 2°) Montrer que f est impaire. 6. Soit f définie sur R* par f(x) = ∫ 2x 3°) Calculer f '(x) pour x > 0. On écrira

0  x  0 ( séparation ) x  E,   K : N  x   N x      x, y  E 2 , N x  y  N x  N y        Un espace vectoriel muni d’une norme est appeléespace vectoriel normé Généralement , s’il n’y a pas de confusion possibleon note : N (x )  x Sur ℝ ou C : N (x )  x Prop :  x, y  E 2 , N x  N y  N x  y

arithmétiques Définition Dire qu’une suite est une suite arithmétique, c’est dire qu’il existe un réel tel que pour tout : Propriétés Si Si Si est une suite arithmétique de premier terme est une suite arithmétique de est une suite arithmétique de alors pour tout : : . . alors pour tous entiers naturels alors . . Exemple :    est une suite arithmétique de premier terme . Calcul de ; Expression du ; Calcul de la somme des 50 premiers termes de la suite. 2. Suites géométriques

IX- Suites numériques Quand on parle d’une suite, il s’agit d’une succession de nombres. Une suite représente en général l’évolution d’une quantité, par exemple une population, ou bien un capital, au fil du temps, année après année, ou seconde par seconde, … On remplace l’évolution continue par une succession de photos prises à intervalles réguliers. Définition Une suite, notée (un) avec n ∈N, est une succession infinie de nombres un indexés (numérotés) par un nombre n qui est un entier

Introduction. Une suite infinie à valeurs réelles n’est après tout qu’une fonction à valeurs dans R dont l’ensemble de définition est N ou plus généralement une partie du type N[n0 , +[ . A ce titre, tous les résultats concernant les fonctions de variable et d’image réelles pourront être utilisés, notamment ceux relatifs à l’étude des limites en +. Rappelons en particulier deux résultats essentiels. _ Le théorème de limite monotone, assurant la convergence de toute suite croissante majorée

Commentaires Raisonnement par récurrence. • Savoir mener un raisonnement par récurrence. Ce type de raisonnement intervient tout au long de l’année et pas seulement dans le cadre de l’étude des suites. Limite finie ou infinie d’une suite.  Dans le cas d’une limite infinie, étant donnés une suite croissante (un) et un nombre réel A, déterminer à l’aide d’un algorithme un rang à partir duquel un est supérieur à A. Pour exprimer que un tend vers l quand n tend vers + , on dit que : « tout intervalle

quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15 ISBN : 978-2-01-182120-1 Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple et d’illustration, « toute

CHAPITRE 3 Exercice 1 Limites de suites et de fonctions (page 56) Réponses a) lim f(x) = 4 . x→0 5 b) Pour tout x ≠ 0, f(x) = x – 5 et lim f(x) = – 5. x→0 1 c) lim – 2 = – ∞ donc lim f(x) = – ∞. x→0 x x→0 x d) lim e – 1 = exp’(0) = e0 = 1. x→0 x 1 Prérequis : « Vérifier les acquis » Prérequis testés Calculer une limite de fonction en zéro de façon intuitive. 2 Reconnaître l’existence d’une asymptote horizontale. a) lim x→+∞ 1 = 0 donc lim f(x) = 3. x→+∞ x– 1 en + ∞