Limite d'une suite

. . 12 B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 A Négation d’une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 B Équivalence de deux propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 C Conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2012 Exercice 1 ROC 3 points On considère une suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q 1 1) Montrer que la somme S n = u0 + u1 + · · · + un peut sécrire sous la forme S n = u0 1 − qn+1 1−q 2) Application : déterminer la somme suivante : S = 1 + 1 1 1 1 + + + + ··· + + 3 9 27 6561 Exercice 2 Visualisation d’une suite 2 points Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par : f (x) = 3 − 4 x+1 On considère la suite définie pour tout n ∈ N par : u0 = 4 un+1 = f

fonction réelle f est une application d’une partie D de R dans R. La partie D est appelée ensemble (ou domaine) de définition de la fonction. Une fonction peut être définie de plusieurs façons : – Par une formule explicite : f(x) = √ x2 − 3 cos x – Abstraitement : π(x) est le nombre de nombres premiers compris entre 0 et x. 2.2 Limite d’une fonction en un point Soit D une partie de R, et soit x0 ∈ R. On dit que x0 est adhérent à D s’il existe une suite d’éléments de D qui converge vers x0

Centrale PSI 09 - Math 1 Un corrig´. e 1 R´organisation des termes d’une s´rie semi-convergente. e e A.1. On suit la d´finition de l’´nonc´. e e e suite:=proc(x,n) local k,p,q,s,S,list; p:=0;q:=0;S:=0;list:=[]; for k from 1 to n do if S>x then q:=q+1;s:=2*q-1 else p:=p+1;s:=2*p fi; S:=S+(-1)^s/s ; print(evalf(S)); list:=[op(list),s] od ; list end : A.2. Voici, ` titre indicatif, une fonction permettant l’affichage des points (n, Sn ). a suite2:=proc(x,n) local k,p,q,s,S,list; p:=0;q:=0;S:=0;list:=[[0

Propriété : toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Remarque : cette propriété ne donne pas la valeur de la limite mais uniquement son existence et une inégalité sur la limite. En effet, si (un) est croissante et majorée par le réel K alors pour tout n, un ≤ K et donc d’après le théorème de comparaison lim un # K . n! +" Propriété : une suite croissante non majorée a pour limite +∞. Une suite décroissante non minorée a pour limite -∞. Démonstration

Fiche 3 Fiche 4 Fiche 5 Fiche 6 Fiche 7 Fiche 8 Fiche 9 Fiche 10 Fiche 11 Fiche 12 Fiche 13 Fiche 14 Fiche 15 Fiche 16 Fiche 17 Fiche 18 Fiche 19 Fiche 20 Fiche 21 4 Nombres réels Généralités sur les fonctions numériques Limite d’une fonction Fonctions continues Fonctions dérivables Compléments sur les fonctions dérivables Logarithmes et exponentielles Fonctions circulaires et réciproques Fonctions hyperboliques et réciproques Suites numériques Suites particulières

Soient deux fonctions u et v définies respectivement sur Du et Dv, tels que les images par u soient dans Dv. On définit la fonction composée de v par u, notée u ° v, par : u ° v : x → u ° v (x) = u [ v(x) ] ∀ x ∈ Dv  Théorème : sens de variation d’une fonction composée. Soient u et v deux fonctions, v définie sur I et u définie sur J telles que v(I) ⊂ J (les images par v sont dans J). Soit w = u ° v la composée de v par u. Alors : Memento mathématiques 1ère S T.Joffredo • • si u et v ont des

. . 12 B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 A Négation d’une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 B Équivalence de deux propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 C Conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 1.8 Bornes supérieures et bornes inférieures dans R. . 1.9 Exercices sur le chapitre 1 . . . . . . . . . . . . 1.10 Corrigé des exercices sur le Chapitre 1 . . . . . . Suites et Séries Numériques 2.1 Suites numériques . . . . . . . . . . . 2.2 Limites dans R . . . . . . . . . . . . 2.3 Séries numériques . . . . . . . . . . . 2.4 Séries à termes positifs . . . . . . . . 2.5 Séries à termes quelconques . . . . . 2.6 Opérations sur les séries . . . . . . . 2.7 Exercices sur le chapitre 2 . . . .

Devant un exercice lié à une suite (un) . Se demander quel est le premier terme, comment il se note . Calculer d’abord quelques termes ( écrire éventuellement des approximations décimales ) Quelle est la question posée ? A – Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique B – Calculer un en fonction de n C – Etudier les variations de (un) D – Calculer la somme de termes consécutifs E – Etudier le comportement de (un) à l’infini F – Montrer que la suite est majorée, minorée, bornée