Logarithme naturel

sont confondues. −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ a. AL = 12 AH + 21 AF . b. AL = 13 AK . −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ c. I D = 12 I J . d. AL = 13 AB + 13 AD + 23 AE . 5 points Soit (u n ) la suite définie par u0 u n+1 = 1 = u n − ln u n2 + 1 pour tout entier naturel n. Partie A Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x − ln x 2 + 1 . 1. Résoudre dans R l’équation f (x) = x. 2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. En déduire que si x ∈ [0 ; 1] alors f (x) ∈ [0 ; 1]. Partie

la suite (un) par :  , pour tout entier naturel n. Démontrer que pour tout entier naturel n, . 2. On se propose, dans la suite de l’exercice, d’exprimer un en fonction de n. On considère les suites v = (vn) et w = (wn) telles que, pour tout entier naturel n, et (ln désigne le logarithme népérien). a. Vérifier que pour tout entier naturel n, . b. Démontrer que la suite w est une suite géométrique. c. Exprimer, pour tout entier naturel n, wn puis vn en fonction de n et en déduire

Réponse : Résoudre voir page 11 voir page 12 voir page 11 voir page 12 Pour réels et un entier naturel non nul, factoriser Exercice 9. 2 Factorisations Identités remarquables. Réponse : voir page 12 pour réel (ou complexe) si si Somme des termes d'une suite géométrique : où sont trois nombres réels ou complexes. pour réels (ou complexes) et un entier naturel non nul : Factorisation Il n'y a pas de coecients binômiaux dans la formule ci-dessus ! Exercice

Si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, avec a > 0, alors il existe une innité de nombres premiers de la forme an + b (n entier naturel). La preuve en est très dicile, les deux cas particuliers traités ci-dessous sont toutefois accessibles en TS. 1. Montrer que tout nombre premier > 2 est de la forme 4n − 1 ou 4n + 1 (n entier naturel). 2. Soit p un nombre premier > 2. On pose q = 22 × 3 × 5 . . . × p − 1 (le produit comprend tous les nombres premiers p). a) Montrer que tout diviseur

contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. 5493_9782011821201_Prof.indd 2 25/06/12 12:33 Sommaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 Suites 5 Limites 20 Dérivées et primitives 34 Fonctions logarithmes 49 Fonction exponentielle 68 Intégration 84 100 Nombres complexes 116 Exemples de lois à densité 135 Prise de décision et estimation 145 Statistiques à deux variables 154 Mémento 5493_9782011821201_Prof

Baccalauréat S 2. a. Pour tout entier naturel non nul n, f n est la composée de deux fonctions continues sur [0 ; +∞[ : Pour tout x de [0 ; 1], 0 x −→ 1 + x n et x −→ ln x donc f n est continue sur [0 ; +∞[. xn 1 donc 1 1 + xn 2. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ donc ln 1 ln (1 + x n ) ln 2. La fonction f n est continue sur [0 ; 1] et pour tout x de [0 ; 1], 0 f n (x) ln 2. 1 Donc pour tout entier naturel non nul n, 0 0 0 In x n+1 In ln 2 dx

Conjonction logique |  est vraie si et seulement si A et Bsont vraies (donc fausse si A ou B ou A et B sont fausses) | , si n est un entier naturel | | | « et » | | | | | Logique, voirConnecteur_logique | | | | ∨ | Disjonction logique |  est vraie quand A ou B (ou les deux) sont vraies et fausse quand les deux sont fausses. | , sin est un entier naturel | | | « ou » | | | | | Logique, voirConnecteur_logique | | | | ¬ | Négation logique |  est vraie quand A est fausse et fausse

| ∧ | Conjonction logique | est vraie si et seulement si A et B sont vraies (donc fausse si A ou B ou A et B sont fausses) | , si n est un entier naturel | | | « et » | | | | | Logique | | | | ∨ | Disjonction logique | est vraie quand A ou B (ou les deux) sont vraies et fausse quand les deux sont fausses. | , si n est un entier naturel | | | « ou » | | | | | Logique | | | | ¬ | Négation logique | est vraie quand A est fausse et fausse quand A est vraie | | |

collecte de données (et donc de déclaration de l’activité) • Le PIB a un caractère « aveugle » o Il comprend les dépenses « négatives » : dépenses de santé, dépenses de dépollution, dépenses liées aux catastrophes naturelles o Il ne tient pas compte des pressions sur les ressources naturelles o Il ne dit rien de la répartition des richesses 5 3.1. Les limites du PIB et du PIB/hab • Le revenu/hab ne prend en compte que la composante monétaire du niveau de vie • Deux individus de deux pays différents

(5) et la décroissance de la fonction f. On acceptera aussi bien des inégalités strictes que des inégalités larges. 1 0,75 3. c) 0,75 Partie B 1. a) 1. b) 4 , d’où le résultat. e 2n e 4 4 1 4 1 = × n = u n . On en Pour tout entier naturel n, u n+1 = n +1 = n 2 2 2 ×2 2 2 1 déduit que la suite ( un ) est une suite géométrique de raison q = et de 2 premier terme u0 = f (0) = 4 . u n = 4e −n ln 2 = n ln 2 4 = 4 ln( 2 n ) = 0,5 1 2. 3. Partie C 1 1−  