Logarithme naturel

ANALYSE p. 5 Chapitre 01 – Suites Chapitre 02 – Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires Chapitre 03 – Dérivation Chapitre 04 – Fonctions sinus et cosinus Chapitre 05 – Fonction exponentielle Chapitre 06 – Fonction logarithme népérien Chapitre 07 – Intégration p. 6 p. 12 p. 16 p. 20 p. 24 p. 28 p. 32 GÉOMÉTRIE P. 37 Chapitre 08 – Nombres complexes Chapitre 09 – Géométrie dans l’espace p. 38 p. 42 PROBABILITÉS ET STATISTIQUES p. 49 Chapitre 10 – Probabilités conditionnelles

: Pour tous réels et  : . Si pour tout , alors . Montrer que : si pour tout , alors . et sont deux fonctions continues sur un intervalle donc est continue sur . Pour tout de donc donc et donc soit . Partie B Soit n un entier naturel non nul. On appelle fn la fonction définie sur par et on pose . On note Cn la courbe représentative de dans un repère orthonormal . 1. a. Déterminer la limite de en . Pour tout de . Soit ; or donc . b. Étudier les variations de sur

pour tout entier naturel n non nul : In = ⌠ ⌡1 x (ln x) dx e 2 où ln désigne la fonction logarithme népérien, et: I0 = ⌠ ⌡1 x dx . 1° Calculer I0 . 2° En utilisant une intégration par parties, calculer I1 . 3° En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel n non nul 3 In+1 + (n + 1) In = e3. (1) En déduire I2 . 4° a) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, In est positive. e3 b) Déduire de l'égalité (1) que, pour tout entier naturel n non nul, In ≤ n+1

= α. 2 Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = ln(2un ) + 1. On désigne par Γ la courbe d’équation y = ln(2x) + 1 dans un repère orthonormal (O ; i, j). Cette courbe est donnée ci-dessous. y 4 Γ 3 2 1 C j –1 O i 1 2 3 4 5 6 7x –1 –2 –3 a) En utilisant la courbe Γ, construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite. b) Démontrer que pour tout entier naturel n, 1 un u n+1 3. c) Démontrer que la suite (u n ) converge vers

National S 2008 Intégration de fonction logarithme - Géométrie dans l’espace - Complexes – Probabilité Annales bac S non corrigées : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/terminale.html Document Word : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/bac_2008/bac_s_national_2008.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2008 Épreuve : MATHEMATIQUES Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPECIALITE Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte

National ES 2008 QCM fonction logarithme – Probabilité – Statistiques. Annales bac ES non corrigées : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/terminale.html Document Word : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/bac_2008/bac_es_national_2008.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2008 Epreuve: MATHEMATIQUES Série : ES Durée : 3 heures Coef. : 5 ou 7 OBLIGATOIRE et SPECIALITE Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de 1 à 7. Du papier

........................................................................44 POLYNOMES...............................................................................................................................................58 PUISSANCES ET LOGARITHMES ...........................................................................................................65 TRIANGLE RECTANGLE ...................................................................................................................

n2=1↔n=2 ou 3n+1=1↔n=0 Le problème dit que le nombre choisit doit appartenir à l’ensemble des naturels , 2∈ mais 0 . L’antécédent de 1 est 2. Je fais de même pour les antécédents de 2 ; on résout les équations n/2= 2 et 3n+1=2. n2=2↔n=4 ou 3n+1=2↔n=13 Donc, 1/3 n’appartenant pas à l’ensemble des naturels, l’antécédent de 2 est 4. Ainsi, je trouve les éventuels antécédents de 4, n2=4↔n=8 ou 3n+1=4↔ n=1

TA en A à le courbe Cf. La tangente TA a pour équation * Si la fonction f est continue sur I et si a est un réel de I, la fonction F telle que l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a. Primitive Dérivée Primitive dérivée est Fonctions logarithmes * Si f est une fonction dérivable sur I alors elle est continue sur I. Somme Produit 0 Quotient Quotient 0 0 * La fonction ln est la primitive, définie sur de la fonction qui s'annule en 1. Si alors Si alors Fonctions exponentielles

x Si 0  a 1, alors lim a   et lim a x  0 .  2. Croissances comparées  Pour tout entier naturel non nul n , on a :   ex lim   x x n x lim x e  0 n x ln(x) lim 0 x x n ex   x ln(x) lim  Les automatismes à avoir Pour lever une indétermination lorsque l’expression de f (x) contient des puissances de x , des logarithmes,    des exponentielles, on peut souvent se ramener aux limites données en cours en mettant en facteur le