Logarithme

55.45.72.77 christophe.chabot@unilim.fr e Chiffrement ` clef publique ou asym´trique a e Cryptographie ` clef publique a R.S.A. DLP & Diffie-Hellman El Gamal DLP & Diffie-Hellman Autre probl`me difficile : Discret Logarithme Problem e Definition (Logarithme discret) Soit G =< g >= {g i }0≤i

rationnel format de sortie pour rat fonction erreur erf gamma fonction gamma erfinv inverse de erf ellipke intégrale elliptique complète ellipj log2 pow2 inv lu rref chol qr nnls lscov null orth eig hess schur fonction elliptique de Jacobi logarithme base 2 ou décomposition mantisse, exposant calcule 2 puissance y inversion décomposition LU réduction de lignes factorisation de Cholesky décomposition QR moindres carrés non-négatif moindres carrés avec covariance connue noyau orthogonalisation

du graphe 3) Primitives d'une fonction continue - Définition - Propriétés - Calculs de primitives simples 4) Logarithme népérien - Définition - Propriétés fondamentales - Etude de la fonction y = ln x - Limites, tracé du graphe 5) Fonction exponentielle - Définition - Propriétés fondamentales - Étude de y = e x - Limites, tracé du graphe 6) Croissances comparées des fonctions logarithmes, exponentielles, fonctions, puissances Levée de nouvelles indéterminations Programme DAEU 2012-2013 Page 6

. . . . 4.4.5 Dérivation de la bijection réciproque . . . . . 4.4.6 Dérivée seconde, concavité, inflexions . . . . . 4.4.7 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Exponentielle, logarithme népérien . . . . . . 4.5.2 Fonctions exponentielles de base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Un logarithme existe si et seulement si ce qui est sous le logarithme est strictement positif. • La fonction trigonométrique tangente (notée tan) n’existe pas lorsque x= π/2 +kπ (k entier relatif). Cet ensemble de définition est soit donné par l’énoncé, dans ce cas on a intérêt à vérifier qu’il est valable, soit il est à déterminer. Exemple : Déterminer l’ensemble de définition D de la fonction f telle que ln x f ( x) = . x −1 La racine carrée existe si et seulement si x ≥ 0. Le logarithme existe

sembler extrêmement lourde ; montrer qu’en fait le nombre formé par les ei (en base 2) peut être interprété comme le numéro du bit faux, clés comprises. En déduire que le nombre de clés nécessaires pour corriger une erreur dans un message est égal au logarithme en base 2 du nombre de bits de ce message, clés comprises. Application numérique : quelle est la longueur du message utile si on transmet des paquets de 256 bits ?

de levier est mesuré ainsi : (Equity Exit/Equity Entry)/ (EV Exit / EV entry) D’où le multiple du gain en capital total : [pic] 3/ On utilise la fonction Log pour passer à la forme additive des sources de création de valeur. On divise par le logarithme du multiple du gain total en capital pour obtenir le pourcentage de contribution de chaque source de création de valeur. [pic]

libérée par le mouvement des plaques tectoniques est mesurée par des sismographes qui enregistrent les ondes sismiques1. C'est à partir de cette mesure que l'on détermine la magnitude d'un séisme sur l'échelle de Richter. Cette dernière est égale au logarithme – base dix – de l'amplitude maximale d'une onde sismique (mesuré à 100 kilomètres du foyer de la catastrophe) moins une constante de référence. Soit : M = log (A max) + c Un rapide calcul permet ainsi de calculer l'ordre de grandeur qui sépare

variation et tangentes. 4 - Dérivation des fonctions composées. 5 - Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle. Théorème de dérivation des fonctions réciproques. B) Logarithmes et exponentielles 1 - Rappels sur le logarithme népérien : définition, propriétés algébriques et limites. Le nombre e. 2 - Fonction logarithme de base a : définition, propriétés algébriques, limites, graphes. 3 - Rappels sur la fonctions exponentielle : définition, propriétés algébriques, étude. 4 - Exponentielle de base

⇔ n ln(1 + i ) = ln n ⇔ n = ln(1 + i ) C0 C0 C0 6 % 0,06 • Solution : le taux mensuel proportionnel vaut = = 0,005 12 12 n Ici on a l’équation : 10 642,59 = 7 000(1+ 0,005) 10 642,59 (1+ 0,005) n = D’où : 7 000 10 642,59 10 642,59 n On passe en logarithmes : ln(1+ 0,005) = ln ⇒ n ln(1,005) = ln 7 000 7 000 10 642,59 ln ln(10642,59 ) − ln( 7000) 7 000 D' où n= = ⇒ n = 84 mois, soit 7 années. ln(1,005) ln(1,005) FI_INT1.DOC ¢ £¡ ¢ £¡