Loi binomiale

Fiche d’exercices sur la loi binomiale Exercice 1 : Correction : X désigne le nombre d’élèves possédant un smartphone. Une épreuve de Bernoulli à deux issues : « l’élève possède un smartphone » de probabilité p = 0,2 et « l’élève ne possède pas un smartphone » est répétée 3 fois de manière identique et indépendante. X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,2. En utilisant la calculatrice, dans le menu probabilité, loi binomiale, et en saisissant n = 3 et p = 0,2

pouvoirs, c’est-à-dire que le pouvoir de l’Etat soit séparé en trois fonctions confiées à des organes distincts : pouvoir exécutif, pouvoir législatif et pouvoir judiciaire. Pouvoir législatif : élaborer et adopter la loi (généralement par le vote) – détenu par Le Parlement Loi : norme écrite de portée générale adoptée par le pouvoir législatif. Pouvoir exécutif : exécution des lois par le biais de : - textes d’application (les règlements) d’opérations matérielles – détenu par Le Gouvernement

Séquence 6 1ère partie : Dérivation (2) : application aux variations des fonctions e 2 partie : Probabilités (2) : loi de Bernoulli, loi binomiale Séquence 6 – MA12 1 © Cned - Académie en ligne 1ère partie Dérivation (2) : application aux variations des fonctions Sommaire 1. Pré-requis 2. Variations d’une fonction dérivable sur un intervalle 3. Synthèse de la partie 1 de la séquence 4. Exercices d’approfondissement 2 © Cned - Académie en ligne Séquence 6 –

: PROBABILITE THEME :Loi BINOMIALEPrésenté par  : Sous la direction de  : ABDOULAYE Amyra Mme FADONOUGBOAKADJAME JoannaALAVO Alex HOUMANVO Merveille TETEGAN Exaucé Année Universitaire  : 2022 – 2023 PlanI- Epreuve de BernoulliII- Processus ou distribution de BERNOULLIIII- Distribution binomiale ou loi binomialeIV- Approximation d’une distribution binomiale par une distribution a) Hypergéométriqueb)

Probabilités| Loi binomiale 1 Etude d’une loi binomiale avec le TInspire Soit 𝑋 une variable aléatoire. On suppose que 𝑋 suit une loi binomiale de paramètre 𝑝 = 0,4 et 𝑛 = 10. (On note aussi 𝑋~𝐵 10; 0,4 ) 1°) Déterminer la loi de probabilité de 𝑋. 2°) Déterminer l’expression de 𝐹, la fonction de répartition de 𝑋 puis représenter graphiquement 𝐹. 3° Calculer l’espérance de 𝑋. 4° Calculer l’écart

5. 2.6. 3. 4. Erreur de Bernouilly .......................................................................................6 Erreur normale.............................................................................................11 Erreur binomiale...........................................................................................12 Erreur de Poisson........................................................................................13 Retour sur les déviances ...................

B) p(A) × p(B) p(A ∩ B) 0,0002 = = 0,01. (en fait = = d. On a p A (B) = p(A) 0,02 p(A) p(A) p(B)). 2. a. On a manifestement une épreuve de Bernoulli avec deux issues (sac sans défaut, sac défecéfectueux). La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,03. k 100 sacs soient défectueux est : 100 0,03k (1 − 0,03)100−k k b. On sait que la probabilité que k, 0 p(X = k) = L’évènement contraire de l’évènement « au moins un sac est défectueux » est « il n’y a pas

l'hypothèse. p d'un caractère Echantillon Hypothèse : n Fréquence f du caractère 2) Intervalle de fluctuation à 95% • La variable aléatoire X compte le nombre d'individus de l'échantillon qui présentent le caractère étudié. Elle suit donc une loi binomiale de paramètres n et p. X prend donc des valeurs entières de 0 à n. • On partage l'intervalle [0 ; n] en trois intervalles : [0 ; a – 1], [a ; b] et [b + 1 ; n], de façon que X prenne ses valeurs dans chacun des deux intervalles extrêmes avec une

= p( B ) × pB ( A ) . Si A et B sont indépendants, on applique la formule p ( A ∩ B ) = p ( B ) × p ( A ) . Comment déterminer la loi d’une variable aléatoire ? On tente de reconnaître une loi classique : loi de Bernoulli, loi binomiale… Sinon, on cherche les valeurs k que peuvent prendre la v.a., et on donne tous les P(X = k ). Comment reconnaît-on une loi binomiale ? on repère des mots clés dans l’énoncé, par exemple : « Y la variable aléatoire qui compte le nombre de .. » « on répète de manière

c-(F)= 0,88x0,92=0,8096(soit=81%) . L’affirmation du directeur est fausse. 4) On répète trois fois une expérience aléatoire ayant deux issues : avec défauts (p(e)), sans défauts (p(s)) . P(s)=0,8096 et P(e)=0,1904 de façon indépendante suit une loi binomiale B(3 ;0,8096) P(X=3)=1x0,80963x1,19040=0,531. EXERCICE 3 : 1)c 2)b 3)b 4)a EXERCICE 4 : 1)a) b) B(x)=0 on résous alors 1+ln(x)=0 c'est-à-dire ln(x)=1 donc x=e-1=0,367 2)a) F’(x)= 5x(lnx+2) +5lnx(1x)= 5lnx+10+5lnxx=10+10lnxx=10(1+lnxx)=