Loi binomiale

Le camion‐benne ne tombe pas en panne le premier mois (considéré comme un  succès)   p = 0,9      q = 0,1    On répète 10 fois de manière indépendante cette épreuve    Z est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès    Z est donc une loi binomiale de paramètres B(10 ; 0,9)  0,9 0,1 2. 10 0,349    D.  1. si   est dans l’intervalle [24,961 ; 25,039] on accepte l’échantillon  si   n’est pas dans l’intervalle [24,961 ; 25,039] on rejete l’échantillon au seuil de confiance  de 95%  2. 24,978 

TS1 Contrôle du jeudi 17 janvier 2013 (50 minutes) V. (1 point) Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (, P) qui suit la loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,42. Pour quelle valeur de l’entier naturel k la probabilité P (X = k) est-elle maximale ? Répondre sans justifier ni faire de phrase. Prénom et nom : .…………………………………………………. Note : …… /20 VI. (5 points) ………………………. I. (2 points) Déterminer les dérivées des fonctions f et g définies respectivement

1 – 0,07= 0,93 2. a) X est la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées. On a 5 cinq candidats donc cinq épreuves identiques avec probabilité d’être recrutée p=0,07 et celle de ne pas être recrutée : q=.0,93. X suit bien une loi binomiale de paramètre n et p : n=5 et p=0,07. b).Probabilité pour que deux des candidats soient retenus : P(X=2)= (52)(0,07)2 x (0,93)2 = 0,039. 3) Soit n le nombre minimum de dossier. Soit p(Z) avec Z la variable aléatoire pour le nombre de candidats

Correction devoir n°4 Exercice n°1 1. a b. D'après la loi des probabilités totales : ( ) ( ) p ( B ) = p ( A Ç B ) + p A Ç B = p ( A) pA ( B ) + p A pA ( B ) = 1 ´ 1 + 5 ´ 2 = 1 + 1 = 1 + 8 = 9 = 3 . 6 4 6 5 24 3 24 24 24 8 Il y a donc bien trois chances sur huit d'obtenir une boule noire. 1 1 3 1 c. D'après le calcul précédent, p ( A Ç B ) = , de plus p ( A ) ´ p ( B ) = ´ = . 24 6 8 16 Comme p ( A) ´ p ( B ) ¹ p ( A Ç B ) , les évènements A et B ne sont pas indépendants

= ∑ Pr{ X = x } Définitions diverses La complexité d’un problème est celle de l’algox 2 ] = E[ X 2 ] − E2 [ X ] rithme le plus efficace pour le résoudre. Variance : Var[ X ] = E[( X − E[ X ]) Un tri stable préserve l’ordre relatif de deux Loi binomiale : On lance n ballons dans r paniers. éléments égaux (au sens de la relation de Les chutes dans les paniers sont équiprobables comparaison utilisée pour le tri). (p = 1/r). On note Xi le nombre de ballons dans le panier i. On a Pr{ Xi = k } = Ck

cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise. On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides. 3. Calculer la probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides. Partie C À des fins publicitaires, le grossiste

stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi. a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10−3 . c. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira

bien il ne répond pas correctement à la question avec la probabilité 1 − p = 0, 3). On répète n = 10 fois, de manière indépendante, une telle épreuve de même paramètre p = 0, 7, alors la variable aléatoire X égale au nombre de « succès » suit la loi binomiale de paramètres 10 et 0, 7, c’est-à-dire pour tout k ∈ 0; 1; 2; . . . ; 10 , P ({X = k}) = 10k × 0, 7k × 0, 310−k b. P ({X P ({X 9}) = P ({X = 9}) + P ({X = 10}) 9}) = 109 × 0, 79 × 0, 3 + 1010 × 0, 710 = . . . P ({X 9}) ≈ 0, 15 à 10−2 près 2

Étapes pour résoudre un problème de loi binomialeIdentifier qu'est-ce qu'est un ESSAI?Décider de ce qui est considéré comme un succès. Maintenant on doit déterminer , qui est la probabilité (les chances) d'obtenir 1 succès en 1 essai. Selon le contexte, on détermine , donc le nombre d'essais sont effectués.On détermine , soit le nombre de succès auquel on s'intéresse.On détermine les inégalités en questions:Exactement "" succès

La loi de Pascal, ou loi binomiale négative, est une loi de probabilité discrète qui trouve à s’appliquer dans un schéma de Bernouilli. On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p toute expérience aléatoire consistant à répéter k fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p. Une épreuve de Bernouilli de paramètre p est une expérience aléatoire comportant deux issues, le succès ou l’échec, et où p représente la probabilité de succès. La loi binomiale négative exprime