Loi binomiale

traumatisme crânien est 0,1. Si le nombre de microhémorragies est inférieur ou égal à 2 lors d’un match, alors la probabilité que le boxeur ait un traumatisme crânien est nulle. On suppose que le nombre de microhémorragies lors d’un match suit une loi de Poisson de paramètre 3 et que ce nombre est indépendant d’un boxeur à l’autre et d’un match à l’autre. On note X le nombre de microhémorragies d’un boxeur apparues lors d’un match ; on note Y le nombre de boxeurs présentant un nombre de microhémorragies

CHAPITRE 4 – CONDITIONNEMENT Variables aléatoires discrètes - Probabilité conditionnelle – Arbre pondéré et calculs de probabilités . I – Variables aléatoires discrètes 1. Loi de probabilité d’une variable aléatoire : Définition : Ω est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire sur E, c’est associer un réel à chaque issue. Exemple : On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.  On gagne 5€ chaque fois que l’on obtient Pile  On

aléatoire X qui , à tout prélèvement ainsi défini , associe le nombre de ponceuses défectueuses de ce prélèvement . Partie A : Dans cette partie , les résultats approchés sont à arrondir à 10 – 2 . 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres . 2. Calculer la probabilité que , dans un tel prélèvement , il y ait exactement quatre ponceuses défectueuses 3. Calculer la probabilité que , dans un tel prélèvement , il y ait au plus quatre ponceuses défectueuses

des antécédents de xi par X : {ω ∈ Ω|X(ω) = xi } est l’événement noté : {X = xi }. La probabilité de l’événement {X = xi } se note : P (X = xi ). Définition 2.3 (Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète) Soit X une variable aléatoire discrète. Soit {xi ∈ R | i ∈ I}, avec I ⊂ N, l’ensemble des images par X des éléments de Ω. La loi de probabilité de X est l’ensemble des couples : (x i , P (X = xi )) pour i ∈ I. Définition et notation 2.4 (Espérance) Soit X une variable aléatoire discrète prenant

97 X 0,92 = 0,8924 3. On a P(A) = P(AnD) + P(AnD̅) = 0.8942 4. On cherche PA(D) = P(AnD)P(A) = 0,00180,09842 = 0,002 Loi binomiale : 1. On répète 10 fois une expérience de type succès-échec où le succès est d’obtenir un sac dans défaut et qui a une probabilité de 0.97. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres 10 ; 0,97 2. P(X=10) = 0,9710X0,030 = 1X0,9710X1 = 0,74 3. P(X=10) = 0,979X0,031 = 1X0,979X0,03 = 0,23

couleur différente. Partie B :Le joueur gagne 5 euros s'il obtient une face noire et perd un euro s'il obtient une face blanche . Il lance toujours deux fois le dé. On considère X la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenue 1) Déterminer la loi de probabilité de X 2) Quel est le gain moyen de ce jeu? Exercice 6: QCM sur 5 points Donne sans justification la bonne réponse. Une seule par question. Sur la copie, on indiquera le numéro de la question et la lettre de la réponse. Question 1) Si

tableur, trouver la plus grande valeur de n telle que P(Sn 150) 0,99. L’outil informatique : Dans Excel par exemple, la fonction LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; VRAI) donne la probabilité que le nombre de succès soit inférieur ou égal à k, pour une loi binomiale B(n , p) de paramètres n et p. Réponse : On peut réserver jusqu’à 158 places, avec une probabilité supérieure à 0,99 que se présentent au plus 150 passagers. Commentaire : La difficulté ne réside pas ici dans le calcul, mais dans la modélisation

Correction BTS CGO Mathématiques Session 2010 EXERCICE 1 : (12 points) A. Loi binomiale 1° On a une série de 8 épreuves indépendantes, chacune de ces épreuve peut déboucher sur deux possibilités : ● un succès : " L'entreprise n'emploie aucun salarié" de probabilité = ● un échec : " L'entreprise emploie au moins un salarié" de probabilité donc suit la loi binomiale de paramètres 8 et 0,87. × 0,87 × 0,13 = 1 × 0,87 × 1 ≈ 0,328 2° =8 = La probabilité que les huit entreprises emploient aucun salarié

ܲሺ‫ܧ‬ଶ ሻ 0,0494 B. Loi binomiale 1°) On a une série de ݊ = 40 prélèvements indépendants, chacun pouvant déboucher sur deux possibilités : "le sachet est défectueux" (succès) de probabilité ‫ ; 50,0 = ݌‬et "le sachet n'est pas défectueux" (échec) de probabilité ‫.59,0 = ݌ − 1 = ݍ‬ Donc ࢄ suit la loi binomiale de paramètres ࢔ = ૝૙ et ࢖ = ૙, ૙૞. ଶ 2°) ܲሺܺ = 2ሻ = ‫ܥ‬ସ଴ × 0, 05ଶ × 0,95ଷ଼ ≈ ૙, ૛ૠૠૠ ଴ 3°) ܲሺܺ ≥ 1ሻ = 1 − ܲሺܺ = 0ሻ = 1 − ‫ܥ‬ସ଴ × 0, 05଴ × 0,95ସ଴ ≈ ૙, ૡૠ૚૞ C. Loi Normale 1°) Soit

sachet est défectueux" (succès) de probabilité = 0,05 ; et "le sachet n'est pas défectueux" (échec) de probabilité = 1 − = 0,95. Donc suit la loi binomiale de paramètres = et = , . 2°) 3°) =2 = ≥1 =1− = × 0, 05 × 0,95 =0 =1− ≈ , × 0, 05 × 0,95 ≈ , B. Loi binomiale C. Loi Normale 1°) Soit , ≥ 104 = =Π 2 = , On a utilisé les formules : suit la loi normale centrée réduite 0 ; 1 . − 120 104 − 120 ≥ = ≥ −2 = 1 − Π −2 = 1 − 1 − Π 2 8 8 ≥ =1−Π et Π − =1−Π 2°) Calculons d'abord la probabilité