Loi commutative

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de « vecteurs » dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions, etc. Le problème est que, contrairement à R2 ou R3 , il est difficile de visualiser des vecteurs dans un espace de dimension infinie. . . quand ce sont des fonctions par exemple ! Avoir assimilé la théorie de la dimension finie serait une bonne idée avant d’attaquer ce chapitre.

Introduction aux outils d’analyse quantitative. Chapitre I : Les matrices. Exemple d’introduction : Un étudiant veut aller manger. Il mangera soit au restaurant soit chez lui. Il veut savoir lequel des deux est le plus avantageux. On note x le prix du restaurant et y le prix à la maison. Dans la première semaine, il va 4 fois au restaurant et une fois chez lui donc nous avons : 4x + y = 51 Dans la seconde semaine, il va deux fois au restaurant et trois fois chez lui, nous avons :

Mathématiques pour la biomécanique Rappel sur la notation des vecteurs La différence entre un scalaire et un vecteur est le fait que pour un vecteur, on a besoin de plusieurs spécificités. Une masse est un scalaire, une vitesse un vecteur. Définition Si on considère, dans l’espace (ensemble de points), un couple de points (A ; B) sachant que A est l’origine et B l’extrémité. Par AB passe une droite δ appelée support des points (A ; B). La longueur (A ; B) est la norme. (A ; B) est opposé

d'ordre n. Soit W un sous-espace de E stable par f , W 6= f0g. Determiner dim(W \ Ker(f )). 52. Soit E un K -espace vectoriel. Soit u 2 L(E ). (a) On pose In = Im(un ); Kn = Ker(un). Montrer que les suites (In)n2N et (Kn )n2N sont monotones pour la loi hh ii. (b) On suppose dim E < 1. Montrer que les deux suites sont stationnaires. Soit alors r le plus petit entier n tel que 8n>r; Ir = In. Montrer que L E=Ir Kr . Que dire de la restriction de u a Ir ? (c) Soit u 2 L(E ) un endomorphisme nilpotent

Chapitre 1 LES RADICAUX D’INDICE n 1.1 Nombres r´els et puissances (rappels) e Exercice 1.1 D´montrer que l’addition et la multiplication conf`rent ` l’ensemble des r´els une structure de champs e e a e ( corps commutatif) Exercice 1.2 Pour quelle(s) raison(s), l’ensemble des naturels muni de l’addition ne poss`de pas la structure de e groupe? Exercice 1.3 Effectuer et ` retenir! a 1. (a + b)2 = 2. (a − b)2 = 3. (a − b)(a + b) = 4. (a + b)3 = 5. (a − b)3 = 6. (a + b)(a2 − ab + b2 ) = 7. (a

Maths PCSI Cours D´composition des e fractions rationnelles Table des mati`res e 1 G´n´ralit´s e e e 1.1 Pr´sentation de C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Pˆles, fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3 D´rivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2 D´composition dans C(X) e 2.1 Th´or`me de d´composition . . e e e 2.2 Pˆles simples . . . . . . . . . . o 2.3 Pˆle double

COURS De MATHEMATIQUES 1 NOMBRES complexes 1 Construction et définition des nombres complexes : On appelle [pic] l'ensemble [pic] des couples de nombres réels muni des opérations internes suivantes : l On peut démontrer les propriétés fondamentales de ces opérations, que l'on déduira des propriétés de [pic]. 1. Associativité de chacune des opérations : [pic] 2. Existence d'un élément neutre pour chacune des opérations : [pic] 3. Tout nombre complexe a un opposé pour l'addition , et

L'addition se conçoit d'abord comme le dénombrement d'une réunion de collections d'objets, à trois conditions : * D'une part, ces objets ne doivent pas perdre leur individualité quand on les réunit, comme le feraient des liquides2 ou des boules soit par un comptage, soit par un calcul mathématique sur les nombres décrivant les quantités de départ. De même, pour que l'addition puisse décrire la réunion d'objets fractionnaires, comme des portions de cercle ou des figures géométriques tracées sur

= a car P v (p^q)  p a . (a+b) = a Associativité :  a E B, b EB, c E B a + (b + c) = (a + b) + c a . (b . c) = (a . b) . c Compléments :  a E B, il existe un élément unique x de B tel que a + x = 1 a X x = 0 c’est x = ä Loi de Morgan : ___ _ _  a E B a+b = a . b ____ __ __ a . b = a + b exercice : l’ensemble B est muni d’une structure d’algèbre de Bool d’élément nul 0 et d’élément unité. Démontrer les deux

complexes ; les relations (3) sont analogues aux relations (produits vectoriels) : i — la multiplication est distributive par rapport à l’addition : q 1 (q 2 + q 3) = q 1 q 2 + q 1 q 3 — l’addition est commutative : q 1 + q 2 = q 2 + q1 (9) (8) — la multiplication n’est pas toujours commutative. Considérons par exemple les quaternions associés aux vecteurs V 1 et V 2 : V 1 = x 1 i + y1 j + z1 k V 2 = x 2 i + y2 j + z 2 k Effectuons successivement les produits : V 1 V 2 = – ( x 1 x 2 + y 1 y 2 +